Cada uma das seguintes equações representa um plano em . Os planos se intersectan? Em caso afirmativo, descreva geometricamente estes pontos de interseção,
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui são duas equações que representam planos no espaço tridimensional, ou seja, em . As equações são:
A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o estudo de planos no espaço. O que a gente precisa descobrir é se esses dois planos se cruzam e, se sim, como é essa interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois planos se intersectam. No espaço tridimensional, dois planos podem:
Não se cruzar de jeito nenhum (são paralelos e distintos).
Se cruzar em uma linha (têm uma interseção linear).
Serem o mesmo plano (coincidirem totalmente).
Então, nosso objetivo é descobrir qual dessas situações está acontecendo com as equações dadas.
Passo 3
Para descobrir isso, vamos resolver o sistema de equações que representa os planos. Se conseguirmos encontrar uma solução única para as variáveis , e , significa que os planos se cruzam em um único ponto. Mas se houver infinitas soluções formando uma linha, então a interseção é uma linha. E se não houver solução, os planos são paralelos.
Vamos resolver o sistema:
Passo 4
Vamos usar o método da substituição ou da combinação linear. Vou optar pela combinação linear para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação de :
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (1a):
Simplificando:
Que é:
Passo 5
Agora, podemos simplificar a equação (3) dividindo todos os termos por 9:
Isso nos dá uma relação entre e . Podemos expressar em função de :
Passo 6
Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na equação (1) para encontrar :
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos expressões para e em termos de :
Isso significa que para qualquer valor de , podemos encontrar valores de e que satisfazem ambas as equações dos planos. Portanto, as soluções formam uma linha no espaço tridimensional.
Resposta
Sim, os dois planos se intersectam ao longo de uma linha. Geometricamente, todos os pontos de interseção podem ser descritos por: