Em cada caso, determine dim Im(T), sabendo que:
T: M(4,2) P7 é bijetora.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de álgebra linear onde precisamos descobrir a dimensão da imagem de uma transformação linear . A transformação vai de (que é o conjunto de todas as matrizes 4x2) para (o espaço dos polinômios de grau até 7). Foi dito que é bijetora, ou seja, é uma função que é tanto injetora quanto sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como dimensão de espaços vetoriais, transformações lineares, e propriedades de funções bijetoras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Para dim M(4,2) = 4 times 2 = 8 , que são todas as matrizes 4x2, a dimensão é calculada multiplicando o número de linhas pelo número de colunas. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar dim P7 = 8 , o espaço dos polinômios de grau até 7. A dimensão desse espaço é igual ao número de coeficientes que um polinômio de grau 7 pode ter, começando do termo constante até o . Assim:

Passo 4

Como dim Im(T) = dim P7 = 8 é uma transformação linear bijetora, sabemos que ela é injetora e sobrejetora. Isso implica que o núcleo de só contém o vetor zero e que a imagem de cobre todo o espaço de chegada . Ou seja:

Resposta

A dimensão da imagem de é 8.

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