Em cada caso, determine
, sabendo que:
é bijetora.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de álgebra linear onde precisamos descobrir a dimensão da imagem de uma transformação linear
. A transformação
vai de
(que é o conjunto de todas as matrizes 4x2) para
(o espaço dos polinômios de grau até 7). Foi dito que
é bijetora, ou seja, é uma função que é tanto injetora quanto sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como dimensão de espaços vetoriais, transformações lineares, e propriedades de funções bijetoras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Para
, que são todas as matrizes 4x2, a dimensão é calculada multiplicando o número de linhas pelo número de colunas. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar
, o espaço dos polinômios de grau até 7. A dimensão desse espaço é igual ao número de coeficientes que um polinômio de grau 7 pode ter, começando do termo constante até o
. Assim:
Passo 4
Como
é uma transformação linear bijetora, sabemos que ela é injetora e sobrejetora. Isso implica que o núcleo de
só contém o vetor zero e que a imagem de
cobre todo o espaço de chegada
. Ou seja:
Resposta
A dimensão da imagem de
é 8.
Exercícios relacionados
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Em cada caso, determine
, sabendo que:
é sobrejetora,
e
.
Dadas as transformações lineares
, assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas:
injetiva
injetiva.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.