Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se existe uma transformação linear
que vai de
(o espaço dos polinômios de grau no máximo 6) para
(o espaço dos vetores de 6 dimensões reais). Além disso, essa transformação precisa satisfazer que a dimensão do núcleo de
(
) é igual à dimensão da imagem de
(
). Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Transformações Lineares, como o Núcleo, a Imagem e o Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são o Núcleo e a Imagem de uma transformação linear.
-
Núcleo (
): É o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, . -
Imagem (
): É o conjunto de todos os vetores em que são alcançados por . Ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema do Núcleo e Imagem. Esse teorema nos diz que para qualquer transformação linear
, a soma das dimensões do Núcleo e da Imagem é igual à dimensão do espaço de partida
. Matematicamente, isso é escrito como:
No nosso caso,
. Vamos calcular
.
Passo 4
O espaço
consiste em todos os polinômios de grau no máximo 6. A dimensão de
é o número de coeficientes independentes desses polinômios, que são 7 (do termo constante até o
). Então:
Passo 5
A gente quer que
. Vamos chamar esse valor de
. Então, de acordo com o Teorema do Núcleo e Imagem:
Passo 6
Resolvendo a equação
, temos:
Mas a dimensão (
) precisa ser um número inteiro, já que representa a quantidade de vetores em uma base de um espaço vetorial.
Passo 7
Como
não é um número inteiro, não existe nenhum número inteiro
que satisfaça
para essa transformação.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear
que satisfaça
.
Exercícios relacionados
Dadas as transformações lineares
, assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas:
injetiva
injetiva.
Em cada caso, determine
, sabendo que:
é bijetora.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.
Uma matriz quadrada
é dita triangular superior se
, quando
. Dizemos que
é triangular inferior se
, quando
. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos
, isto é,
. (j) Toda matriz diagonal é simétrica.