Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
T: P6 R^6 tal que dim N(T)=dim Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se existe uma transformação linear que vai de (o espaço dos polinômios de grau no máximo 6) para (o espaço dos vetores de 6 dimensões reais). Além disso, essa transformação precisa satisfazer que a dimensão do núcleo de ( ) é igual à dimensão da imagem de ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Transformações Lineares, como o Núcleo, a Imagem e o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são o Núcleo e a Imagem de uma transformação linear.
  • Núcleo ( ): É o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, .
  • Imagem ( ): É o conjunto de todos os vetores em que são alcançados por . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema do Núcleo e Imagem. Esse teorema nos diz que para qualquer transformação linear dim N(T) + dim Im(T) = dim V , a soma das dimensões do Núcleo e da Imagem é igual à dimensão do espaço de partida . Matematicamente, isso é escrito como:
No nosso caso, . Vamos calcular .

Passo 4

O espaço dim P6 = 7 consiste em todos os polinômios de grau no máximo 6. A dimensão de é o número de coeficientes independentes desses polinômios, que são 7 (do termo constante até o ). Então:

Passo 5

A gente quer que d + d = 7 implies 2d = 7 . Vamos chamar esse valor de . Então, de acordo com o Teorema do Núcleo e Imagem:

Passo 6

Resolvendo a equação d = 72 , temos:
Mas a dimensão ( ) precisa ser um número inteiro, já que representa a quantidade de vetores em uma base de um espaço vetorial.

Passo 7

Como não é um número inteiro, não existe nenhum número inteiro que satisfaça para essa transformação.

Resposta

Não, não existe uma transformação linear que satisfaça .

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