Dadas as transformações lineares
, assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas:
injetiva
injetiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre transformações lineares, que são funções entre espaços vetoriais que respeitam a estrutura linear. Aqui temos duas transformações:
e
. A pergunta quer saber se a composição dessas transformações, ou seja,
, sendo injetiva, implica que
também seja injetiva. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetiva e como as composições funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação injetiva. Uma transformação linear
é injetiva se, sempre que
, então
. Basicamente, isso significa que cada elemento de
vai para um elemento distinto em
, sem “sobremapear”.
Passo 3
Agora, vamos pensar na composição das transformações
. Essa composição
significa que primeiro aplicamos
e depois
. Ou seja, para qualquer elemento
em
, temos
.
Passo 4
Queremos saber se
sendo injetiva necessariamente faz
ser injetiva. Vamos analisar isso. Suponha que
seja injetiva. Isso quer dizer que se
, então
.
Passo 5
Vamos explorar o que isso implica para
. Se
implica
, então
precisa ser injetiva também. Porque se
não fosse injetiva, poderia existir
tais que
, e mesmo que
mapeie esses para o mesmo lugar,
ainda seria injetiva apenas se isso nunca acontecesse.
Passo 6
No entanto, só porque
é injetiva não necessariamente garante que
sozinho seja injetiva. Pode ser que
“corrija” alguma coisa que
faria de forma não injetiva. Ou seja,
pode não ser injetiva, mas a combinação com
acaba sendo.
Passo 7
Para dar um exemplo concreto, imagine que
seja uma transformação que é injetiva e mapeia
de forma que, ao aplicar
depois,
não cria colisões. Porém,
por si só poderia ter colisões se mapeasse elementos diferentes para o mesmo lugar. A injetividade de
não força
a ser injetiva, apenas que, na “imagem” de
,
não colide.
Resposta
F (Falso). A injetividade de
não implica necessariamente que
seja injetiva.
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Em cada caso, determine
, sabendo que:
é bijetora.
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.