Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: injetiva injetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre transformações lineares, que são funções entre espaços vetoriais que respeitam a estrutura linear. Aqui temos duas transformações: e . A pergunta quer saber se a composição dessas transformações, ou seja, , sendo injetiva, implica que também seja injetiva. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetiva e como as composições funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação injetiva. Uma transformação linear é injetiva se, sempre que , então . Basicamente, isso significa que cada elemento de vai para um elemento distinto em , sem “sobremapear”.

Passo 3

Agora, vamos pensar na composição das transformações . Essa composição significa que primeiro aplicamos e depois . Ou seja, para qualquer elemento em , temos .

Passo 4

Queremos saber se sendo injetiva necessariamente faz ser injetiva. Vamos analisar isso. Suponha que seja injetiva. Isso quer dizer que se , então .

Passo 5

Vamos explorar o que isso implica para . Se implica , então precisa ser injetiva também. Porque se não fosse injetiva, poderia existir tais que , e mesmo que mapeie esses para o mesmo lugar, ainda seria injetiva apenas se isso nunca acontecesse.

Passo 6

No entanto, só porque é injetiva não necessariamente garante que sozinho seja injetiva. Pode ser que “corrija” alguma coisa que faria de forma não injetiva. Ou seja, pode não ser injetiva, mas a combinação com acaba sendo.

Passo 7

Para dar um exemplo concreto, imagine que seja uma transformação que é injetiva e mapeia de forma que, ao aplicar depois, não cria colisões. Porém, por si só poderia ter colisões se mapeasse elementos diferentes para o mesmo lugar. A injetividade de não força a ser injetiva, apenas que, na “imagem” de , não colide.

Resposta

F (Falso). A injetividade de não implica necessariamente que seja injetiva.

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Em cada caso, determine , sabendo que:
é bijetora.
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que .
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que .