Em cada caso, determine dim Im(T), sabendo que:
T: P9 W é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que vai de para . Primeiro, vamos resumir o que isso significa. é o espaço de todos os polinômios de grau até 9, e é outro espaço vetorial. A transformação é injetora, ou seja, não mapeia dois vetores diferentes de para o mesmo vetor em . Nosso objetivo é descobrir a dimensão da imagem de , que é basicamente quantos vetores distintos consegue produzir em .

Passo 2

Para resolver isso, precisamos lembrar de um conceito importante da álgebra linear: Teorema do Núcleo e Imagem. Esse teorema diz que para uma transformação linear dim(V) = dim(ker(T)) + dim(Im(T)) , temos:
Aqui, é o núcleo de (todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em ) e é a imagem de .

Passo 3

Como dim(ker(T)) = 0 é injetora, isso significa que só o vetor zero de é mapeado para o zero em . Portanto, o núcleo de tem dimensão zero:

Passo 4

Sabemos que dim(P9) = dim(ker(T)) + dim(Im(T)) 10 = 0 + dim(Im(T)) tem dimensão 10, porque os polinômios de grau até 9 têm 10 coeficientes (de a ). Aplicando o teorema que mencionamos:

Resposta

Portanto, a dimensão da imagem de é 10.

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