Em cada caso, determine , sabendo que: é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que vai de para . Primeiro, vamos resumir o que isso significa. é o espaço de todos os polinômios de grau até 9, e é outro espaço vetorial. A transformação é injetora, ou seja, não mapeia dois vetores diferentes de para o mesmo vetor em . Nosso objetivo é descobrir a dimensão da imagem de , que é basicamente quantos vetores distintos consegue produzir em .
Passo 2
Para resolver isso, precisamos lembrar de um conceito importante da álgebra linear: Teorema do Núcleo e Imagem. Esse teorema diz que para uma transformação linear , temos:
Aqui, é o núcleo de (todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em ) e é a imagem de .
Passo 3
Como é injetora, isso significa que só o vetor zero de é mapeado para o zero em . Portanto, o núcleo de tem dimensão zero:
Passo 4
Sabemos que tem dimensão 10, porque os polinômios de grau até 9 têm 10 coeficientes (de a ). Aplicando o teorema que mencionamos: