Em cada caso, determine
, sabendo que:
é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear
que vai de
para
. Primeiro, vamos resumir o que isso significa.
é o espaço de todos os polinômios de grau até 9, e
é outro espaço vetorial. A transformação
é injetora, ou seja, não mapeia dois vetores diferentes de
para o mesmo vetor em
. Nosso objetivo é descobrir a dimensão da imagem de
, que é basicamente quantos vetores distintos
consegue produzir em
.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos lembrar de um conceito importante da álgebra linear: Teorema do Núcleo e Imagem. Esse teorema diz que para uma transformação linear
, temos:
Aqui,
é o núcleo de
(todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em
) e
é a imagem de
.
Passo 3
Como
é injetora, isso significa que só o vetor zero de
é mapeado para o zero em
. Portanto, o núcleo de
tem dimensão zero:
Passo 4
Sabemos que
tem dimensão 10, porque os polinômios de grau até 9 têm 10 coeficientes (de
a
). Aplicando o teorema que mencionamos:
Resposta
Portanto, a dimensão da imagem de
é 10.