Mostre que se uma transformação linear é injetora, então .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de transformações lineares, que é um conceito da álgebra linear. O enunciado pede para mostrar que se uma transformação linear é injetora, então o núcleo de , denotado por , é apenas o vetor zero de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e o que é o núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear T(u + v) = T(u) + T(v) é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Isto é, para quaisquer vetores T(cu) = cT(u) e escalar , temos:
Passo 3
Agora, vamos definir o que significa uma transformação ser injetora. Uma transformação é injetora se vetores diferentes em são mapeados para vetores diferentes em . Em outras palavras, se implica que , então é injetora.
Passo 4
O núcleo de uma transformação linear N(T) = u in U mid T(u) = OV , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :
Nosso objetivo é mostrar que, se é injetora, então o único vetor no núcleo de é o vetor zero de .
Passo 5
Vamos supor que é injetora. Queremos provar que .
Pelo fato de ser injetora, se , então .
Passo 6
Consideremos dois vetores no núcleo de T(u1) = OV , digamos T(u2) = OV e , tais que:
Como , pela injetividade de , concluímos que .
Passo 7
Isso significa que todos os vetores no núcleo de T(OU) = OV devem ser iguais. Mas, por definição, o vetor zero sempre está no núcleo, já que:
Portanto, todos os vetores no núcleo são iguais ao vetor zero.
Passo 8
Assim, concluímos que o núcleo de N(T) = OU contém apenas o vetor zero de :