Verifique se as transformações abaixo são lineares: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação definida por . Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição vetorial: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma transformação linear sempre passa pela origem, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: a adição vetorial. Seja e . Então:
Simplificando:
Por outro lado:
Podemos ver que:
Ou seja, não são iguais porque há um termo constante diferente.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a multiplicação por escalar. Seja um escalar e . Então:
Por outro lado:
Claramente:
A diferença está no termo constante vs. .

Passo 5

Além disso, vamos verificar se :
Isso já mostra que a transformação não passa pela origem, o que é uma condição necessária para ser linear.

Resposta

A transformação não é linear porque não satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar, além de não passar pela origem.

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine , sabendo que:
é injetora.
Mostre que se uma transformação linear é injetora, então .
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja sobrejetiva.
Verifique se as transformações abaixo são lineares: .