Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação
definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição vetorial:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma transformação linear sempre passa pela origem, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: a adição vetorial. Seja
e
. Então:
Simplificando:
Por outro lado:
Podemos ver que:
Ou seja, não são iguais porque há um termo constante diferente.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então:
Por outro lado:
Claramente:
A diferença está no termo constante
vs.
.
Passo 5
Além disso, vamos verificar se
:
Isso já mostra que a transformação não passa pela origem, o que é uma condição necessária para ser linear.
Resposta
A transformação
não é linear porque não satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar, além de não passar pela origem.