Verifique se as transformações abaixo são lineares: F: R^3 R, F(x, y, z)=x+5 y-z+2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação definida por . Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição vetorial: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma transformação linear sempre passa pela origem, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: a adição vetorial. Seja F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2) + 5(y1 + y2) - (z1 + z2) + 2 e = x1 + x2 + 5y1 + 5y2 - z1 - z2 + 2 . Então:
F(u) + F(v) = (x1 + 5y1 - z1 + 2) + (x2 + 5y2 - z2 + 2) = x1 + x2 + 5y1 + 5y2 - z1 - z2 + 4
Simplificando:
F(u + v) = F(u) + F(v) - 2
Por outro lado:
Podemos ver que:
Ou seja, não são iguais porque há um termo constante diferente.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a multiplicação por escalar. Seja F(cu) = F(cx, cy, cz) = cx + 5(cy) - cz + 2 = c x + 5 c y - c z + 2 um escalar e cF(u) = c(x + 5y - z + 2) = c x + 5 c y - c z + 2c . Então:
F(cu) neq cF(u)
Por outro lado:
Claramente:
A diferença está no termo constante vs. .

Passo 5

Além disso, vamos verificar se F(0, 0, 0) = 0 + 5 cdot 0 - 0 + 2 = 2 neq 0 :
Isso já mostra que a transformação não passa pela origem, o que é uma condição necessária para ser linear.

Resposta

A transformação não é linear porque não satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar, além de não passar pela origem.

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