Seja
a transformação linear tal que
e
. Determine a lei de
e verifique se a transformação é injetora e/ou sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma transformação linear
, que basicamente pega vetores de dois elementos e os transforma em matrizes 2x2. A gente sabe como
age em dois vetores específicos:
e
. Nosso objetivo é descobrir como
age em qualquer vetor de
(a chamada "lei de
") e verificar se essa transformação é injetora (ou seja, se vetores diferentes resultam em matrizes diferentes) e/ou sobrejetora (se toda matriz 2x2 pode ser obtida a partir de algum vetor).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma transformação linear é totalmente determinada pela sua ação sobre uma base do espaço de partida. No caso,
tem uma base padrão formada pelos vetores
e
. Mas o exercício nos dá a ação de
em
e
. Vamos expressar esses vetores em termos da base padrão:
Como
é linear, podemos usar a propriedade de linearidade para encontrar a ação de
em qualquer vetor
.
Passo 3
Vamos considerar um vetor geral
em
. Podemos escrever:
Aplicando a transformação
:
Porém, não sabemos diretamente
e
, mas sabemos
e
. Reescrevendo em termos de
e
:
Como a transformação é linear, temos:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos expressar
:
Vamos fazer a multiplicação escalar e somar as matrizes:
Passo 5
Simplificando a expressão acima, temos a lei de
:
Passo 6
Agora, vamos verificar se
é injetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor que mapeia para a matriz zero é o vetor zero. Ou seja, se
implica que
e
.
Igualando
a zero:
Isso resulta nas equações:
Ambas as equações implicam que
. No entanto, isso não força
e
a serem zero. Por exemplo,
também satisfaz
. Portanto, há infinitos vetores que mapeiam para a matriz zero, e
não é injetora.
Passo 7
Para verificar se
é sobrejetora, precisamos ver se todo elemento de
pode ser escrito como
para algum
. Observando a forma de
:
Notamos que todas as matrizes resultantes de
têm as entradas da primeira coluna sendo
e
, que são dependentes entre si. Isso significa que nem toda matriz 2x2 pode ser obtida dessa forma, já que matrizes gerais podem ter entradas independentes. Logo,
não é sobrejetora.
Resposta
A lei de
é dada por
Além disso, a transformação
não é injetora nem sobrejetora.