Seja T: R^2 M(2,2) a transformação linear tal que T(-1,0)=[cc1 & -1 -1 & 1] e T(0,-1)=[cc-1 & 1 1 & -1]. Determine a lei de T e verifique se a transformação é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma transformação linear , que basicamente pega vetores de dois elementos e os transforma em matrizes 2x2. A gente sabe como age em dois vetores específicos: e . Nosso objetivo é descobrir como age em qualquer vetor de (a chamada "lei de ") e verificar se essa transformação é injetora (ou seja, se vetores diferentes resultam em matrizes diferentes) e/ou sobrejetora (se toda matriz 2x2 pode ser obtida a partir de algum vetor).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma transformação linear é totalmente determinada pela sua ação sobre uma base do espaço de partida. No caso, (-1,0) = -1 cdot e1 + 0 cdot e2 tem uma base padrão formada pelos vetores (0,-1) = 0 cdot e1 - 1 cdot e2 e . Mas o exercício nos dá a ação de em e . Vamos expressar esses vetores em termos da base padrão:
Como é linear, podemos usar a propriedade de linearidade para encontrar a ação de em qualquer vetor .

Passo 3

Vamos considerar um vetor geral (x, y) = x cdot e1 + y cdot e2 em T(x, y) = x cdot T(e1) + y cdot T(e2) . Podemos escrever:
T(-e1) = [cc1 & -1 -1 & 1]
Aplicando a transformação T(-e2) = [cc-1 & 1 1 & -1] :
T(-e1) = -T(e1) = [cc1 & -1 -1 & 1] Rightarrow T(e1) = -[cc1 & -1 -1 & 1] = [cc-1 & 1 1 & -1]
Porém, não sabemos diretamente T(-e2) = -T(e2) = [cc-1 & 1 1 & -1] Rightarrow T(e2) = -[cc-1 & 1 1 & -1] = [cc1 & -1 -1 & 1] e , mas sabemos e . Reescrevendo em termos de e :
Como a transformação é linear, temos:

Passo 4

Agora que temos T(x, y) = x cdot T(e1) + y cdot T(e2) = x cdot [cc-1 & 1 1 & -1] + y cdot [cc1 & -1 -1 & 1] e T(x, y) = [cc-x & x x & -x] + [ccy & -y -y & y] = [cc-x + y & x - y x - y & -x + y] , podemos expressar :
Vamos fazer a multiplicação escalar e somar as matrizes:

Passo 5

Simplificando a expressão acima, temos a lei de T(x, y) = [ccy - x & x - y x - y & y - x] :

Passo 6

Agora, vamos verificar se [ccy - x & x - y x - y & y - x] = [cc0 & 0 0 & 0] é injetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor que mapeia para a matriz zero é o vetor zero. Ou seja, se y - x = 0 e x - y = 0 implica que e .
Igualando a zero:
Isso resulta nas equações:
Ambas as equações implicam que . No entanto, isso não força e a serem zero. Por exemplo, também satisfaz . Portanto, há infinitos vetores que mapeiam para a matriz zero, e não é injetora.

Passo 7

Para verificar se T(x, y) = [ccy - x & x - y x - y & y - x] é sobrejetora, precisamos ver se todo elemento de pode ser escrito como para algum . Observando a forma de :
Notamos que todas as matrizes resultantes de têm as entradas da primeira coluna sendo e , que são dependentes entre si. Isso significa que nem toda matriz 2x2 pode ser obtida dessa forma, já que matrizes gerais podem ter entradas independentes. Logo, não é sobrejetora.

Resposta

A lei de T(x, y) = [ccy - x & x - y x - y & y - x] é dada por
Além disso, a transformação não é injetora nem sobrejetora.

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