Seja a transformação linear tal que e . Determine a lei de e verifique se a transformação é injetora e/ou sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma transformação linear , que basicamente pega vetores de dois elementos e os transforma em matrizes 2x2. A gente sabe como age em dois vetores específicos: e . Nosso objetivo é descobrir como age em qualquer vetor de (a chamada "lei de ") e verificar se essa transformação é injetora (ou seja, se vetores diferentes resultam em matrizes diferentes) e/ou sobrejetora (se toda matriz 2x2 pode ser obtida a partir de algum vetor).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma transformação linear é totalmente determinada pela sua ação sobre uma base do espaço de partida. No caso, tem uma base padrão formada pelos vetores e . Mas o exercício nos dá a ação de em e . Vamos expressar esses vetores em termos da base padrão:
Como é linear, podemos usar a propriedade de linearidade para encontrar a ação de em qualquer vetor .
Passo 3
Vamos considerar um vetor geral em . Podemos escrever:
Aplicando a transformação :
Porém, não sabemos diretamente e , mas sabemos e . Reescrevendo em termos de e :
Como a transformação é linear, temos:
Passo 4
Agora que temos e , podemos expressar :
Vamos fazer a multiplicação escalar e somar as matrizes:
Passo 5
Simplificando a expressão acima, temos a lei de :
Passo 6
Agora, vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor que mapeia para a matriz zero é o vetor zero. Ou seja, se implica que e .
Igualando a zero:
Isso resulta nas equações:
Ambas as equações implicam que . No entanto, isso não força e a serem zero. Por exemplo, também satisfaz . Portanto, há infinitos vetores que mapeiam para a matriz zero, e não é injetora.
Passo 7
Para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se todo elemento de pode ser escrito como para algum . Observando a forma de :
Notamos que todas as matrizes resultantes de têm as entradas da primeira coluna sendo e , que são dependentes entre si. Isso significa que nem toda matriz 2x2 pode ser obtida dessa forma, já que matrizes gerais podem ter entradas independentes. Logo, não é sobrejetora.
Resposta
A lei de é dada por
Além disso, a transformação não é injetora nem sobrejetora.