Seja a transformação linear tal que e . Determine a lei de e verifique se a transformação é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma transformação linear , que basicamente pega vetores de dois elementos e os transforma em matrizes 2x2. A gente sabe como age em dois vetores específicos: e . Nosso objetivo é descobrir como age em qualquer vetor de (a chamada "lei de ") e verificar se essa transformação é injetora (ou seja, se vetores diferentes resultam em matrizes diferentes) e/ou sobrejetora (se toda matriz 2x2 pode ser obtida a partir de algum vetor).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma transformação linear é totalmente determinada pela sua ação sobre uma base do espaço de partida. No caso, tem uma base padrão formada pelos vetores e . Mas o exercício nos dá a ação de em e . Vamos expressar esses vetores em termos da base padrão:
Como é linear, podemos usar a propriedade de linearidade para encontrar a ação de em qualquer vetor .

Passo 3

Vamos considerar um vetor geral em . Podemos escrever:
Aplicando a transformação :
Porém, não sabemos diretamente e , mas sabemos e . Reescrevendo em termos de e :
Como a transformação é linear, temos:

Passo 4

Agora que temos e , podemos expressar :
Vamos fazer a multiplicação escalar e somar as matrizes:

Passo 5

Simplificando a expressão acima, temos a lei de :

Passo 6

Agora, vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor que mapeia para a matriz zero é o vetor zero. Ou seja, se implica que e .
Igualando a zero:
Isso resulta nas equações:
Ambas as equações implicam que . No entanto, isso não força e a serem zero. Por exemplo, também satisfaz . Portanto, há infinitos vetores que mapeiam para a matriz zero, e não é injetora.

Passo 7

Para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se todo elemento de pode ser escrito como para algum . Observando a forma de :
Notamos que todas as matrizes resultantes de têm as entradas da primeira coluna sendo e , que são dependentes entre si. Isso significa que nem toda matriz 2x2 pode ser obtida dessa forma, já que matrizes gerais podem ter entradas independentes. Logo, não é sobrejetora.

Resposta

A lei de é dada por
Além disso, a transformação não é injetora nem sobrejetora.

Exercícios relacionados

Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que .
Determine uma base e a dimensão para o Núcleo e para a Imagem da transformação linear que satisfaz e .
Mostre que se uma transformação linear é injetora, então .
Em cada caso, determine , sabendo que:
é injetora.