Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja sobrejetiva.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A gente precisa descobrir se existe uma transformação linear
que seja sobrejetiva, ou seja, que cubra todo o espaço de chegada
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses espaços e trabalhar com as dimensões deles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse é o espaço de todos os polinômios de grau máximo 4. Um polinômio geral em
tem a forma:
Então, a dimensão de
é 5, porque temos 5 coeficientes diferentes.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é
. Esse é o espaço de todas as matrizes com 3 linhas e 2 colunas. Cada entrada na matriz pode variar independentemente, então a dimensão de
é:
Ou seja, a dimensão de
é 6.
Passo 4
Para uma transformação linear
ser sobrejetiva, a imagem de
precisa ter a mesma dimensão que o espaço de chegada
. Isso vem do teorema do posto-nulidade, que nos diz que:
No nosso caso,
tem dimensão 5 e
tem dimensão 6.
Passo 5
Aplicando o teorema do posto-nulidade:
Isso quer dizer que a imagem de
tem no máximo dimensão 5.
Passo 6
Mas para
ser sobrejetiva, precisaríamos que:
Como a imagem de
só pode ter dimensão 5 no máximo, não é possível que ela cubra todo o
.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear
que seja sobrejetiva.
Exercícios relacionados
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Em cada caso, determine
, sabendo que:
é injetora.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.