Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
T: P4 M(3,2) que seja sobrejetiva.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A gente precisa descobrir se existe uma transformação linear que seja sobrejetiva, ou seja, que cubra todo o espaço de chegada . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses espaços e trabalhar com as dimensões deles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 . Esse é o espaço de todos os polinômios de grau máximo 4. Um polinômio geral em tem a forma:
Então, a dimensão de é 5, porque temos 5 coeficientes diferentes.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é 3 times 2 = 6 . Esse é o espaço de todas as matrizes com 3 linhas e 2 colunas. Cada entrada na matriz pode variar independentemente, então a dimensão de é:
Ou seja, a dimensão de é 6.

Passo 4

Para uma transformação linear dim(im T) = posto(T) <= min(dim(V), dim(W)) ser sobrejetiva, a imagem de precisa ter a mesma dimensão que o espaço de chegada . Isso vem do teorema do posto-nulidade, que nos diz que:
No nosso caso, tem dimensão 5 e tem dimensão 6.

Passo 5

Aplicando o teorema do posto-nulidade:
dim(im T) <= min(5, 6) = 5
Isso quer dizer que a imagem de tem no máximo dimensão 5.

Passo 6

Mas para dim(im T) = dim(M(3,2)) = 6 ser sobrejetiva, precisaríamos que:
Como a imagem de só pode ter dimensão 5 no máximo, não é possível que ela cubra todo o .

Resposta

Não, não existe uma transformação linear que seja sobrejetiva.

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