Em cada caso, determine
, sabendo que:
é tal que
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a dimensão da imagem da transformação linear
, sabendo que a dimensão do núcleo de
(
) é 2. Para isso, vamos usar o Teorema da Dimensão, que relaciona a dimensão do domínio, do núcleo e da imagem de uma transformação linear.
Passo 2
O Teorema da Dimensão afirma que:
Aqui,
porque estamos trabalhando no espaço
.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 4
Agora, vamos isolar
para encontrar a dimensão da imagem:
Resposta
A dimensão da imagem de
é igual a 3.
Exercícios relacionados
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Em cada caso, determine
, sabendo que:
é tal que
.
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja injetiva.