Em cada caso, determine , sabendo que:
é tal que .

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a dimensão da imagem da transformação linear , sabendo que a dimensão do núcleo de ( ) é 2. Para isso, vamos usar o Teorema da Dimensão, que relaciona a dimensão do domínio, do núcleo e da imagem de uma transformação linear.

Passo 2

O Teorema da Dimensão afirma que:
Aqui, porque estamos trabalhando no espaço .

Passo 3

Sabemos que . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 4

Agora, vamos isolar para encontrar a dimensão da imagem:

Resposta

A dimensão da imagem de é igual a 3.

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Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Em cada caso, determine , sabendo que:
é tal que .
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: .
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja injetiva.