Em cada caso, determine , sabendo que:
é tal que .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão pede para determinar a dimensão do Núcleo de uma transformação linear , sabendo que a dimensão da Imagem de é 3. Para isso, vamos usar o Teorema da Dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Núcleo de uma transformação linear. O Núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em .

Passo 3

Agora, o Teorema da Dimensão nos diz que:
Isso significa que a soma da dimensão do Núcleo e da dimensionalidade da Imagem de é igual à dimensão do espaço de partida, que neste caso é 7.

Passo 4

Sabemos que . Vamos substituir na fórmula:

Passo 5

Resolvendo para :

Resposta

A dimensão do Núcleo de é 4.

Exercícios relacionados

Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. .
Seja a transformação linear tal que e . Responda aos itens abaixo:
Encontre a lei de .
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Em cada caso, determine , sabendo que:
é tal que .