Em cada caso, determine dim N(T), sabendo que:
T: R^7 R^8 é tal que dim Im(T)=3.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão pede para determinar a dimensão do Núcleo de uma transformação linear , sabendo que a dimensão da Imagem de é 3. Para isso, vamos usar o Teorema da Dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Núcleo de uma transformação linear. O Núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em .

Passo 3

Agora, o Teorema da Dimensão nos diz que:
dim N(T) + dim Im(T) = dim R^7
Isso significa que a soma da dimensão do Núcleo e da dimensionalidade da Imagem de é igual à dimensão do espaço de partida, que neste caso é 7.

Passo 4

Sabemos que dim N(T) + 3 = 7 . Vamos substituir na fórmula:

Passo 5

Resolvendo para dim N(T) = 7 - 3 = 4 :

Resposta

A dimensão do Núcleo de é 4.

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