Em cada caso, determine
, sabendo que:
é tal que
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão pede para determinar a dimensão do Núcleo de uma transformação linear
, sabendo que a dimensão da Imagem de
é 3. Para isso, vamos usar o Teorema da Dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Núcleo de uma transformação linear. O Núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
.
Passo 3
Agora, o Teorema da Dimensão nos diz que:
Isso significa que a soma da dimensão do Núcleo e da dimensionalidade da Imagem de
é igual à dimensão do espaço de partida, que neste caso é 7.
Passo 4
Sabemos que
. Vamos substituir na fórmula:
Passo 5
Resolvendo para
:
Resposta
A dimensão do Núcleo de
é 4.
Exercícios relacionados
Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.
.
Seja
a transformação linear tal que
e
. Responda aos itens abaixo:
Encontre a lei de .
Encontre a lei de
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Em cada caso, determine
, sabendo que:
é tal que
.