Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a matriz de uma transformação linear que leva polinômios de grau até 3 para polinômios de grau até 2. A transformação é definida por , ou seja, ela pega a derivada de um polinômio. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar essa transformação em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Para , a base canônica é e para é . A ideia é ver como a transformação age sobre cada elemento da base de e expressar o resultado em termos da base de .
Passo 3
Vamos aplicar a cada vetor da base de :
Passo 4
Agora, expressamos cada resultado obtido em termos da base de :
Passo 5
A matriz da transformação tem colunas formadas pelos coeficientes dessas expressões. Então, organizamos os coeficientes de cada imagem na ordem da base de :
Resposta
A matriz da transformação linear em relação às bases canônicas é: