Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a matriz de uma transformação linear que leva polinômios de grau até 3 para polinômios de grau até 2. A transformação é definida por , ou seja, ela pega a derivada de um polinômio. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar essa transformação em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Para , a base canônica é e para é . A ideia é ver como a transformação age sobre cada elemento da base de e expressar o resultado em termos da base de .

Passo 3

Vamos aplicar a cada vetor da base de :

Passo 4

Agora, expressamos cada resultado obtido em termos da base de :

Passo 5

A matriz da transformação tem colunas formadas pelos coeficientes dessas expressões. Então, organizamos os coeficientes de cada imagem na ordem da base de :

Resposta

A matriz da transformação linear em relação às bases canônicas é:

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Em cada caso, determine , sabendo que:
é tal que .
Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. .
Em cada caso, determine , sabendo que:
é tal que .
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: .