Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja injetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe uma transformação linear que vai de (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2) para e que seja injetiva. Isso quer dizer que a gente precisa entender o que é uma transformação linear, o que significa ser injetiva e analisar se é possível ter uma função assim entre esses dois espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, respeitando duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa a transformação ser injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que , então necessariamente . Em outras palavras, cada elemento do espaço de chegada é imagem de no máximo um elemento do espaço de partida .

Passo 4

Para saber se uma transformação linear pode ser injetiva, precisamos olhar para as dimensões dos espaços envolvidos. O espaço tem dimensão 3 (porque um polinômio de grau no máximo 2 tem três coeficientes: constante, e ) e tem dimensão 2.

Passo 5

De acordo com o teorema do núcleo e da imagem (ou teorema da dimensão), temos:
íú
No nosso caso:
ú
Para que seja injetiva, o núcleo precisa ter dimensão 0 (ou seja, apenas o vetor zero mapeado para zero). Então:
Mas só tem dimensão 2, o que significa que a imagem de não pode ter dimensão 3.

Passo 6

Como a imagem de não pode ter dimensão 3 em um espaço de dimensão 2, isso significa que sempre haverá pelo menos um vetor não nulo em que é mapeado para o mesmo vetor em . Portanto, não existe uma transformação linear que seja injetiva.

Resposta

Não, não existe uma transformação linear de para que seja injetiva.

Exercícios relacionados

Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: .
Em cada caso, determine , sabendo que:
é tal que .
Seja um isomorfismo. Se é tal que (ou ), prove que é linear.
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
(d) e ;