Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
T: P2 R^2 que seja injetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe uma transformação linear que vai de (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2) para e que seja injetiva. Isso quer dizer que a gente precisa entender o que é uma transformação linear, o que significa ser injetiva e analisar se é possível ter uma função assim entre esses dois espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, respeitando duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa a transformação ser injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que , então necessariamente . Em outras palavras, cada elemento do espaço de chegada é imagem de no máximo um elemento do espaço de partida .

Passo 4

Para saber se uma transformação linear pode ser injetiva, precisamos olhar para as dimensões dos espaços envolvidos. O espaço tem dimensão 3 (porque um polinômio de grau no máximo 2 tem três coeficientes: constante, e ) e tem dimensão 2.

Passo 5

De acordo com o teorema do núcleo e da imagem (ou teorema da dimensão), temos:
dim(Domínio) = dim(Ima>=m) + dim(Núc<=o) íú
No nosso caso:
3 = dim(Ima>=m) + dim(Núc<=o) ú
Para que 3 = dim(Ima>=m) + 0 implies dim(Ima>=m) = 3 seja injetiva, o núcleo precisa ter dimensão 0 (ou seja, apenas o vetor zero mapeado para zero). Então:
Mas só tem dimensão 2, o que significa que a imagem de não pode ter dimensão 3.

Passo 6

Como a imagem de não pode ter dimensão 3 em um espaço de dimensão 2, isso significa que sempre haverá pelo menos um vetor não nulo em que é mapeado para o mesmo vetor em . Portanto, não existe uma transformação linear que seja injetiva.

Resposta

Não, não existe uma transformação linear de para que seja injetiva.

Exercícios relacionados