Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja injetiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe uma transformação linear
que vai de
(o espaço dos polinômios de grau no máximo 2) para
e que seja injetiva. Isso quer dizer que a gente precisa entender o que é uma transformação linear, o que significa ser injetiva e analisar se é possível ter uma função assim entre esses dois espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função
que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, respeitando duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa a transformação ser injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que
, então necessariamente
. Em outras palavras, cada elemento do espaço de chegada
é imagem de no máximo um elemento do espaço de partida
.
Passo 4
Para saber se uma transformação linear
pode ser injetiva, precisamos olhar para as dimensões dos espaços envolvidos. O espaço
tem dimensão 3 (porque um polinômio de grau no máximo 2 tem três coeficientes: constante,
e
) e
tem dimensão 2.
Passo 5
De acordo com o teorema do núcleo e da imagem (ou teorema da dimensão), temos:
No nosso caso:
Para que
seja injetiva, o núcleo precisa ter dimensão 0 (ou seja, apenas o vetor zero mapeado para zero). Então:
Mas
só tem dimensão 2, o que significa que a imagem de
não pode ter dimensão 3.
Passo 6
Como a imagem de
não pode ter dimensão 3 em um espaço de dimensão 2, isso significa que sempre haverá pelo menos um vetor não nulo em
que é mapeado para o mesmo vetor em
. Portanto, não existe uma transformação linear
que seja injetiva.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear de
para
que seja injetiva.