Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que vai de (o conjunto de polinômios de grau no máximo 2) para . Queremos descobrir a matriz que representa essa transformação usando as bases canônicas desses espaços. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes, mas de um jeito bem tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as bases canônicas dos espaços envolvidos. Para , a base canônica é . Já para , a base canônica é , onde:
Passo 3
O próximo passo é aplicar a transformação a cada vetor da base de . Isso nos vai ajudar a montar as colunas da matriz de .
Primeiro, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Passo 5
Por último, vamos calcular :
Passo 6
Agora que temos as imagens de todos os vetores da base, podemos montar a matriz de . Cada coluna da matriz será a imagem de um vetor da base de entrada.
Resposta
A matriz da transformação linear em relação às bases canônicas é: