Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: T in L(P2(R), R^3), T(a0+a1 t+a2 t^2)=(a0+2 a2, a1-3 a0, a2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que vai de (o conjunto de polinômios de grau no máximo 2) para . Queremos descobrir a matriz que representa essa transformação usando as bases canônicas desses espaços. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes, mas de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as bases canônicas dos espaços envolvidos. Para e1 = 100, e2 = 010, e3 = 001 , a base canônica é . Já para , a base canônica é , onde:

Passo 3

O próximo passo é aplicar a transformação T(1) = T(a0 + a1 t + a2 t^2) onde a0 = 1, a1 = 0, a2 = 0 a cada vetor da base de T(1) = (a0 + 2a2, a1 - 3a0, a2) = (1 + 2cdot0, 0 - 3cdot1, 0) = (1, -3, 0) . Isso nos vai ajudar a montar as colunas da matriz de .
Primeiro, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular T(t) = T(a0 + a1 t + a2 t^2) onde a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0 :
T(t) = (a0 + 2a2, a1 - 3a0, a2) = (0 + 2cdot0, 1 - 3cdot0, 0) = (0, 1, 0)

Passo 5

Por último, vamos calcular T(t^2) = T(a0 + a1 t + a2 t^2) onde a0 = 0, a1 = 0, a2 = 1 :
T(t^2) = (a0 + 2a2, a1 - 3a0, a2) = (0 + 2cdot1, 0 - 3cdot0, 1) = (2, 0, 1)

Passo 6

Agora que temos as imagens de todos os vetores da base, podemos montar a matriz de [T] = 1 & 0 & 2 -3 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Cada coluna da matriz será a imagem de um vetor da base de entrada.

Resposta

A matriz da transformação linear [T] = 1 & 0 & 2 -3 & 1 & 0 0 & 0 & 1 em relação às bases canônicas é:

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