Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que vai de (o conjunto de polinômios de grau no máximo 2) para . Queremos descobrir a matriz que representa essa transformação usando as bases canônicas desses espaços. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes, mas de um jeito bem tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as bases canônicas dos espaços envolvidos. Para , a base canônica é . Já para , a base canônica é , onde:
Passo 3
O próximo passo é aplicar a transformação T(1) = T(a0 + a1 t + a2 t^2) onde a0 = 1, a1 = 0, a2 = 0 a cada vetor da base de T(1) = (a0 + 2a2, a1 - 3a0, a2) = (1 + 2cdot0, 0 - 3cdot1, 0) = (1, -3, 0) . Isso nos vai ajudar a montar as colunas da matriz de .
Agora que temos as imagens de todos os vetores da base, podemos montar a matriz de [T] = 1 & 0 & 2 -3 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Cada coluna da matriz será a imagem de um vetor da base de entrada.
Resposta
A matriz da transformação linear [T] = 1 & 0 & 2 -3 & 1 & 0 0 & 0 & 1 em relação às bases canônicas é: