Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que vai de (o conjunto de polinômios de grau no máximo 2) para . Queremos descobrir a matriz que representa essa transformação usando as bases canônicas desses espaços. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes, mas de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as bases canônicas dos espaços envolvidos. Para , a base canônica é . Já para , a base canônica é , onde:

Passo 3

O próximo passo é aplicar a transformação a cada vetor da base de . Isso nos vai ajudar a montar as colunas da matriz de .
Primeiro, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Por último, vamos calcular :

Passo 6

Agora que temos as imagens de todos os vetores da base, podemos montar a matriz de . Cada coluna da matriz será a imagem de um vetor da base de entrada.

Resposta

A matriz da transformação linear em relação às bases canônicas é:

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Em cada caso, determine , sabendo que:
é tal que .
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja injetiva.
Seja um isomorfismo. Se é tal que (ou ), prove que é linear.