Em cada caso, determine
, sabendo que:
é injetora e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear
que é injetora (ou seja, não manda dois vetores diferentes de
para o mesmo polinômio em
). Sabemos também que a dimensão de
é 4. Nosso objetivo aqui é descobrir a dimensão da imagem de
, que a gente representa por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito chave da Álgebra Linear chamado teorema da dimensão, também conhecido como teorema do núcleo e imagem. Ele diz que para uma transformação linear
, a soma da dimensão do núcleo de
(
) com a dimensão da imagem de
(
) é igual à dimensão de
:
Passo 3
Como
é injetora, isso significa que o núcleo de
contém apenas o vetor zero. Em outras palavras,
Portanto, a dimensão do núcleo de
é zero:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teorema da dimensão que mencionamos no Passo 2. Sabemos que:
Substituindo os valores que conhecemos:
Passo 5
Resolvendo a equação acima para encontrar
:
Resposta
A dimensão da imagem de
é 4.
Exercícios relacionados
Faça um esboço dos seguintes planos:
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Mostre que
Determine a equação da elipse de focos nos pontos de interseção da circunferência
com a reta
e excentricidade
.
O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mola é
onde
é medida em centímetros e
em segundos.
b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes.
b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes.