Em cada caso, determine dim Im(T), sabendo que:
T: V P8 é injetora e dim(V)=4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear que é injetora (ou seja, não manda dois vetores diferentes de para o mesmo polinômio em ). Sabemos também que a dimensão de é 4. Nosso objetivo aqui é descobrir a dimensão da imagem de , que a gente representa por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito chave da Álgebra Linear chamado teorema da dimensão, também conhecido como teorema do núcleo e imagem. Ele diz que para uma transformação linear dim(V) = dim Ker(T) + dim Im(T) , a soma da dimensão do núcleo de ( ) com a dimensão da imagem de ( ) é igual à dimensão de :

Passo 3

Como Ker(T) = 0 é injetora, isso significa que o núcleo de dim Ker(T) = 0 contém apenas o vetor zero. Em outras palavras,
Portanto, a dimensão do núcleo de é zero:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teorema da dimensão que mencionamos no Passo 2. Sabemos que:
dim(V) = dim Ker(T) + dim Im(T)
Substituindo os valores que conhecemos:
4 = 0 + dim Im(T)

Passo 5

Resolvendo a equação acima para encontrar dim Im(T) = 4 :

Resposta

A dimensão da imagem de é 4.

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