O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mola é
s(t)=2 e^-t2 sen(t)
onde s é medida em centímetros e t em segundos.
b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma mola com atrito, modelado pela função . Nosso objetivo aqui é encontrar os momentos de tempo em que a partícula está em repouso, ou seja, quando a velocidade dela é zero, e também descobrir onde ela está nessa posição. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função posição para achar a velocidade e, em seguida, resolver quando essa velocidade é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar .

Passo 3

Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, já que temos o produto de duas funções: e . A regra do produto diz que a derivada de é .

Passo 4

Calculando as derivadas individuais:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
s'(t) = 2 ( -12 e^-t2 sin(t) + e^-t2 cos(t) )
Simplificando:
s'(t) = - e^-t2 sin(t) + 2 e^-t2 cos(t)

Passo 6

Queremos que a velocidade seja zero, então igualamos - e^-t2 sin(t) + 2 e^-t2 cos(t) = 0 a zero:
e^-t2 (-sin(t) + 2 cos(t)) = 0
Podemos fatorar :

Passo 7

Como - sin(t) + 2 cos(t) = 0 nunca é zero para nenhum valor real de 2 cos(t) = sin(t) , podemos focar na equação dentro dos parênteses:
Ou seja:

Passo 8

Dividindo ambos os lados por 2 = tan(t) (desde que tan(t) = 2 ):
t = arctan(2) + kpi, k in Z
Então:
Para encontrar , usamos a função arco-tangente:
Isso nos dá todos os momentos em que a velocidade é zero.

Resposta

Os instantes de tempo em que a partícula está em repouso são dados por:
t = arctan(2) + kpi para todo k in Z
Nesses instantes, a posição da partícula é:
s(t) = 2 e^-t2 sin(t)
Substituindo cada encontrado na expressão de , obtemos a respectiva posição da partícula quando ela está em repouso.

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