O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mola é
onde
é medida em centímetros e
em segundos.
b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes.
b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma mola com atrito, modelado pela função
. Nosso objetivo aqui é encontrar os momentos de tempo em que a partícula está em repouso, ou seja, quando a velocidade dela é zero, e também descobrir onde ela está nessa posição. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função posição para achar a velocidade e, em seguida, resolver quando essa velocidade é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
.
Passo 3
Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, já que temos o produto de duas funções:
e
. A regra do produto diz que a derivada de
é
.
Passo 4
Calculando as derivadas individuais:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Queremos que a velocidade seja zero, então igualamos
a zero:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Como
nunca é zero para nenhum valor real de
, podemos focar na equação dentro dos parênteses:
Ou seja:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Então:
Para encontrar
, usamos a função arco-tangente:
Isso nos dá todos os momentos em que a velocidade é zero.
Resposta
Os instantes de tempo em que a partícula está em repouso são dados por:
Nesses instantes, a posição da partícula é:
Substituindo cada
encontrado na expressão de
, obtemos a respectiva posição da partícula quando ela está em repouso.