O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mola é
onde é medida em centímetros e em segundos.
b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma mola com atrito, modelado pela função . Nosso objetivo aqui é encontrar os momentos de tempo em que a partícula está em repouso, ou seja, quando a velocidade dela é zero, e também descobrir onde ela está nessa posição. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função posição para achar a velocidade e, em seguida, resolver quando essa velocidade é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar .
Passo 3
Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, já que temos o produto de duas funções: e . A regra do produto diz que a derivada de é .
Passo 4
Calculando as derivadas individuais:
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Queremos que a velocidade seja zero, então igualamos a zero:
Podemos fatorar :
Passo 7
Como nunca é zero para nenhum valor real de , podemos focar na equação dentro dos parênteses:
Ou seja:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Então:
Para encontrar , usamos a função arco-tangente:
Isso nos dá todos os momentos em que a velocidade é zero.
Resposta
Os instantes de tempo em que a partícula está em repouso são dados por:
Nesses instantes, a posição da partícula é:
Substituindo cada encontrado na expressão de , obtemos a respectiva posição da partícula quando ela está em repouso.