Determine a equação da elipse de focos nos pontos de interseção da circunferência
com a reta
e excentricidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de uma elipse. Os focos dessa elipse estão nos pontos onde a circunferência
intercepta a reta
. Além disso, a excentricidade da elipse é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre circunferências, elipses, interseção de curvas e a definição de excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos de interseção entre a circunferência
e a reta
. Substituindo
na equação da circunferência:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Portanto, os pontos de interseção são
e
. Esses serão os focos da nossa elipse.
Passo 5
Sabemos que, para uma elipse, a excentricidade
está relacionada com os parâmetros
(distância do centro aos focos) e
(distância do centro aos vértices) pela fórmula:
Dado que
, temos:
Passo 6
Vamos encontrar as coordenadas do centro da elipse. Como os focos são
e
, o centro será o ponto médio entre eles:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 7
A distância entre os focos é
. Calculando essa distância:
Passo 8
Sabemos que
, então:
Passo 9
Agora, vamos usar a relação
para encontrar
, que é a distância do centro aos co-vertices:
Passo 10
Com o centro
,
e
, a equação da elipse na forma padrão é:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da elipse é: