Determine a equação da elipse de focos nos pontos de interseção da circunferência x^2-2 x+y^2-4 y-4=0 com a reta x=1 e excentricidade e=12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de uma elipse. Os focos dessa elipse estão nos pontos onde a circunferência intercepta a reta . Além disso, a excentricidade da elipse é . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre circunferências, elipses, interseção de curvas e a definição de excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos de interseção entre a circunferência 1^2 - 2(1) + y^2 - 4y - 4 = 0 e a reta 1 - 2 + y^2 - 4y - 4 = 0 . Substituindo y^2 - 4y - 5 = 0 na equação da circunferência:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de y^2 - 4y - 5 = 0 :
y = 4 pm raiz(-4)^2 - 4(1)(-5)2(1)
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
y = 4 pm raiz16 + 202
y = 4 pm raiz362
y = 4 pm 62
y = 4 + 62 = 5 e y = 4 - 62 = -1
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Portanto, os pontos de interseção são e . Esses serão os focos da nossa elipse.

Passo 5

Sabemos que, para uma elipse, a excentricidade e = ca está relacionada com os parâmetros 12 = ca Rightarrow c = a2 (distância do centro aos focos) e (distância do centro aos vértices) pela fórmula:
Dado que , temos:

Passo 6

Vamos encontrar as coordenadas do centro da elipse. Como os focos são xc = 1 + 12 = 1 e yc = 5 + (-1)2 = 2 , o centro será o ponto médio entre eles:
Então, o centro da elipse é .

Passo 7

A distância entre os focos é 2c = raiz(1 - 1)^2 + (5 - (-1))^2 = raiz0 + 36 = 6 Rightarrow c = 3 . Calculando essa distância:

Passo 8

Sabemos que 3 = a2 Rightarrow a = 6 , então:

Passo 9

Agora, vamos usar a relação b^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 Rightarrow b = raiz27 = 3raiz3 para encontrar , que é a distância do centro aos co-vertices:

Passo 10

Com o centro (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 , (x - 1)^236 + (y - 2)^227 = 1 e , a equação da elipse na forma padrão é:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 1)^236 + (y - 2)^227 = 1

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