Faça um esboço dos seguintes planos:
(a) x-3=0
(b) z+2=0
© y-1=0
(d) y-z-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro equações de planos e precisa fazer um esboço de cada um deles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar os interceptos de cada plano com os eixos coordenados para entender melhor como eles se posicionam no espaço.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação: .
Esse é um plano vertical paralelo ao eixo YZ. Para esboçar, notamos que independente dos valores de e , o valor de sempre será 3. Então, esse plano corta o eixo X no ponto (3, 0, 0) e se estende infinitamente nas direções e .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda equação: .
Aqui, . Esse é um plano horizontal paralelo ao eixo XY, localizado a duas unidades abaixo do plano XY. Não importa os valores de e , sempre será -2. Portanto, o plano intercepta o eixo Z no ponto (0, 0, -2) e se estende nas direções e .

Passo 4

A terceira equação é: .
Simplificando, temos . Esse plano é paralelo ao eixo XZ e está localizado uma unidade acima do plano XZ. Independentemente dos valores de e , sempre será 1. Assim, o plano intercepta o eixo Y no ponto (0, 1, 0) e se estende nas direções e .

Passo 5

Por fim, vamos para a quarta equação: .
Vamos rearranjar para . Esse plano inclinado relaciona os valores de e . Para esboçar, podemos encontrar alguns pontos:
  • Se , então → ponto (0, 2, 0).
  • Se , então → ponto (0, 3, 1).
  • Se , então → ponto (0, 0, -2).
Com esses pontos, conseguimos visualizar que o plano inclina-se de maneira que, conforme aumenta, também aumenta proporcionalmente.

Resposta

Pronto! Esboçamos cada um dos planos:
a) é um plano vertical paralelo aos eixos Y e Z, passando pelo ponto (3, 0, 0).
b) é um plano horizontal paralelo ao eixo XY, localizado a duas unidades abaixo do plano XY, interceptando o eixo Z em (0, 0, -2).
c) é um plano paralelo ao eixo XZ, uma unidade acima do plano XZ, interceptando o eixo Y em (0, 1, 0).
d) é um plano inclinado que relaciona e , passando pelos pontos (0, 2, 0), (0, 3, 1) e (0, 0, -2).

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