Mostre que
á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a derivada de elevada a uma potência é igual a vezes a derivada de . Estamos lidando com o cálculo de derivadas, mais especificamente com a regra da potência para funções. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a definição de derivada e entender como manipular expressões com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de uma função em relação a é dada por:
Isso significa que estamos olhando para a taxa de variação de quando fazemos um pequeno incremento em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função . Então, temos:
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para chegar à forma .

Passo 4

Para simplificar, vamos usar a regra do binômio para . Assumindo que é muito pequeno, podemos aproximar:
Isso é uma linearização da função, considerando apenas o primeiro termo da expansão.

Passo 5

Aplicando a regra da potência para pequenas variações, podemos escrever:
Aqui, usamos o fato de que para pequeno.

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão da derivada:
Os termos se cancelam, ficando:

Passo 7

Simplificando a fração, o no numerador e denominador se cancelam:

Resposta

Portanto, mostramos que

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Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de que
(a) equidistam das retas
Qual a equação da normal ao gráfico de no ponto ?
Faça um esboço dos seguintes planos:
(a)
(b)
©
(d) .
Em cada caso, determine , sabendo que:
é injetora e .