Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a derivada de
elevada a uma potência
é igual a
vezes a derivada de
. Estamos lidando com o cálculo de derivadas, mais especificamente com a regra da potência para funções. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a definição de derivada e entender como manipular expressões com potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de uma função
em relação a
é dada por:
Isso significa que estamos olhando para a taxa de variação de
quando fazemos um pequeno incremento
em
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função
. Então, temos:
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para chegar à forma
.
Passo 4
Para simplificar, vamos usar a regra do binômio para
. Assumindo que
é muito pequeno, podemos aproximar:
Isso é uma linearização da função, considerando apenas o primeiro termo da expansão.
Passo 5
Aplicando a regra da potência para pequenas variações, podemos escrever:
Aqui, usamos o fato de que
para
pequeno.
Passo 6
Substituindo essa aproximação na expressão da derivada:
Os termos
se cancelam, ficando:
Passo 7
Simplificando a fração, o
no numerador e denominador se cancelam:
Resposta
Portanto, mostramos que
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Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de
que
(a) equidistam das retas
(a) equidistam das retas
Qual a equação da normal ao gráfico de
no ponto
?
Faça um esboço dos seguintes planos:
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Em cada caso, determine
, sabendo que:
é injetora e
.