Mostre que
[f(x)^alpha]^prime=alpha f(x)^alpha-1 f^prime(x) (alpha in R, f derivável ) á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a derivada de elevada a uma potência é igual a vezes a derivada de . Estamos lidando com o cálculo de derivadas, mais especificamente com a regra da potência para funções. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a definição de derivada e entender como manipular expressões com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de uma função g'(x) = limh to 0 g(x + h) - g(x)h em relação a é dada por:
Isso significa que estamos olhando para a taxa de variação de quando fazemos um pequeno incremento em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função g'(x) = limh to 0 [f(x + h)]^alpha - [f(x)]^alphah . Então, temos:
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para chegar à forma .

Passo 4

Para simplificar, vamos usar a regra do binômio para [f(x + h)]^alpha approx [f(x) + f'(x)h]^alpha . Assumindo que é muito pequeno, podemos aproximar:
Isso é uma linearização da função, considerando apenas o primeiro termo da expansão.

Passo 5

Aplicando a regra da potência para pequenas variações, podemos escrever:
[f(x) + f'(x)h]^alpha approx f(x)^alpha + alpha f(x)^alpha - 1 f'(x) h
Aqui, usamos o fato de que para pequeno.

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão da derivada:
g'(x) = limh to 0 f(x)^alpha + alpha f(x)^alpha -1 f'(x) h - f(x)^alphah
Os termos g'(x) = limh to 0 alpha f(x)^alpha -1 f'(x) hh se cancelam, ficando:

Passo 7

Simplificando a fração, o g'(x) = limh to 0 alpha f(x)^alpha -1 f'(x) = alpha f(x)^alpha -1 f'(x) no numerador e denominador se cancelam:

Resposta

Portanto, mostramos que
[f(x)^alpha]^prime = alpha f(x)^alpha-1 f^prime(x)

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