Seja
a transformação linear tal que
e
. Responda aos itens abaixo:
Encontre a lei de
.
Encontre a lei de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares aplicadas a polinômios de grau até 2. Precisamos encontrar a “lei” da transformação
para qualquer polinômio da forma
. Para isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e as informações que já temos sobre como
age nos polinômios básicos
,
e
.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma transformação linear tem a propriedade de respeitar a soma e a multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer polinômios
e
e escalar
, temos:
Como
é linear e
é uma combinação linear dos polinômios
,
e
, podemos usar essa propriedade para encontrar
.
Passo 3
Vamos aplicar a linearidade de
:
Agora, substituímos as imagens dadas de
:
Substituindo na expressão:
Passo 4
Agora, distribuímos os coeficientes:
Em seguida, agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando cada grupo:
Resposta
A lei da transformação
para o polinômio
é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma.
, tal que
e
.
b) Seja
. Quais as coordenadas do vetor
na base
?
Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.
.
Em cada caso, determine
, sabendo que:
é tal que
.