Seja T: P2 P2 a transformação linear tal que T(1)=1+x, T(x)=x+x^2 e T(x^2)=1+x-2 x^2. Responda aos itens abaixo:
Encontre a lei de T(a+b x+c x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares aplicadas a polinômios de grau até 2. Precisamos encontrar a “lei” da transformação para qualquer polinômio da forma . Para isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e as informações que já temos sobre como age nos polinômios básicos , e .

Passo 2

Primeiro, lembra que uma transformação linear tem a propriedade de respeitar a soma e a multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer polinômios T(p + q) = T(p) + T(q) e T(k cdot p) = k cdot T(p) e escalar , temos:
Como é linear e é uma combinação linear dos polinômios , e , podemos usar essa propriedade para encontrar .

Passo 3

Vamos aplicar a linearidade de T(a + b x + c x^2) = a cdot T(1) + b cdot T(x) + c cdot T(x^2) :
T(1) = 1 + x
Agora, substituímos as imagens dadas de T(x) = x + x^2 :
T(x^2) = 1 + x - 2x^2
a cdot (1 + x) + b cdot (x + x^2) + c cdot (1 + x - 2x^2)
Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, distribuímos os coeficientes:
= a + a x + b x + b x^2 + c + c x - 2c x^2
Em seguida, agrupamos os termos semelhantes:
= (a + c) + (a x + b x + c x) + (b x^2 - 2c x^2)
Simplificando cada grupo:
= (a + c) + (a + b + c) x + (b - 2c) x^2

Resposta

A lei da transformação T(a + b x + c x^2) = (a + c) + (a + b + c) x + (b - 2c) x^2 para o polinômio é:

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