Seja a transformação linear tal que e . Responda aos itens abaixo:
Encontre a lei de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares aplicadas a polinômios de grau até 2. Precisamos encontrar a “lei” da transformação para qualquer polinômio da forma . Para isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e as informações que já temos sobre como age nos polinômios básicos , e .

Passo 2

Primeiro, lembra que uma transformação linear tem a propriedade de respeitar a soma e a multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer polinômios e e escalar , temos:
Como é linear e é uma combinação linear dos polinômios , e , podemos usar essa propriedade para encontrar .

Passo 3

Vamos aplicar a linearidade de :
Agora, substituímos as imagens dadas de :
Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, distribuímos os coeficientes:
Em seguida, agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando cada grupo:

Resposta

A lei da transformação para o polinômio é:

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Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .
b) Seja . Quais as coordenadas do vetor na base ?
Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. .
Em cada caso, determine , sabendo que:
é tal que .