Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. F: R^3 R^3, F(x, y, z)=(x+y, 2 x+y, 3 x+y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Além disso, precisamos determinar uma base para cada um deles. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, espaços vetoriais, e bases. Vamos precisar montar e resolver sistemas de equações para achar o núcleo e a imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de F(x, y, z) = (x + y, 2x + y, 3x + y) = (0, 0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x + y = 0 2x + y = 0 3x + y = 0 em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação temos:
x + y = 0 implies y = -x
Substituindo 2x + (-x) = x = 0 implies x = 0 na segunda equação:
Com , então .
Agora, observamos que na equação original não aparece, o que significa que pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo é composto por todos os vetores onde , e é livre.

Passo 4

Assim, o núcleo de Ker(F) = (0, 0, z) mid z in R é:
Base do Núc<=o = (0, 0, 1)
Para determinar uma base para o núcleo, buscamos um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o núcleo. Aqui, podemos escolher o vetor onde :
ú

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & 1 & 0 2 & 1 & 0 3 & 1 & 0 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela aplicação de em algum vetor de . Para isso, vamos expressar a transformação linear em termos de suas colunas.
A transformação pode ser representada pela matriz:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.

Passo 6

Vamos verificar a independência linear das colunas. Observamos que a terceira coluna é zero, então ela não contribui para a imagem. As duas primeiras colunas são:
1 2 3 , 1 1 1
Vamos ver se são linearmente independentes. Se existir a 1 2 3 + b 1 1 1 = 0 0 0 e a + b = 0 2a + b = 0 3a + b = 0 tais que:
(2a + b) - (a + b) = a = 0 implies a = 0
Isso resulta no sistema:
0 + b = 0 implies b = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Como a única solução é , as colunas são linearmente independentes.

Passo 7

Como as duas primeiras colunas são linearmente independentes, a imagem de Im(F) = span 1 2 3 , 1 1 1 é o espaço gerado por esses dois vetores:
Base da Ima>=m = 1 2 3 , 1 1 1
Para determinar uma base para a imagem, podemos simplesmente usar esses dois vetores, já que são linearmente independentes.

Resposta

O núcleo de 1 2 3 é 1 1 1 com a base 1 2 3 . A imagem de 1 1 1 é com a base .

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