Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Além disso, precisamos determinar uma base para cada um deles. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, espaços vetoriais, e bases. Vamos precisar montar e resolver sistemas de equações para achar o núcleo e a imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação temos:
Substituindo na segunda equação:
Com , então .
Agora, observamos que na equação original não aparece, o que significa que pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo é composto por todos os vetores onde , e é livre.
Passo 4
Assim, o núcleo de é:
Para determinar uma base para o núcleo, buscamos um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o núcleo. Aqui, podemos escolher o vetor onde :
ú
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela aplicação de em algum vetor de . Para isso, vamos expressar a transformação linear em termos de suas colunas.
A transformação pode ser representada pela matriz:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.
Passo 6
Vamos verificar a independência linear das colunas. Observamos que a terceira coluna é zero, então ela não contribui para a imagem. As duas primeiras colunas são:
Vamos ver se são linearmente independentes. Se existir e tais que:
Isso resulta no sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Como a única solução é , as colunas são linearmente independentes.
Passo 7
Como as duas primeiras colunas são linearmente independentes, a imagem de é o espaço gerado por esses dois vetores:
Para determinar uma base para a imagem, podemos simplesmente usar esses dois vetores, já que são linearmente independentes.
Resposta
O núcleo de é com a base . A imagem de é com a base .