Em cada caso determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Vértice se refere a vértice no eixo maior.
(f) (Elipse transladada: assunto não abordado no REO)vértice , centro , foco . Elipse com centro na origem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar a equação de uma elipse que foi deslocada (transladada) e que atende a algumas condições específicas. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre elipses transladadas. As informações que temos são:
  • Vértice em
  • Centro em
  • Foco em
Vamos usar isso para montar a equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma elipse transladada. A forma padrão é:
Aqui, é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Observando os pontos que temos, o centro está em . Então, e . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 4

Agora, precisamos determinar se o eixo maior é horizontal ou vertical. Olhando para o vértice e o foco:
  • Vértice em
  • Foco em
Ambos têm a mesma coordenada , o que significa que o eixo maior é vertical, ou seja, na direção do eixo . Portanto, corresponde ao semi-eixo vertical e ao semi-eixo horizontal.

Passo 5

Sabendo que o vértice está em e o centro em , podemos calcular o valor de . A distância entre o centro e o vértice é .
Então, .

Passo 6

Sabemos também que a distância entre o centro e o foco é , onde (pois o foco está em e o centro em ).
A relação entre , e numa elipse é:
Vamos usar isso para encontrar .

Passo 7

Agora, já temos todos os valores que precisamos:
Substituindo esses valores na equação geral:

Resposta

A equação da elipse é:

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