Em cada caso determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Vértice se refere a vértice no eixo maior.
(f) (Elipse transladada: assunto não abordado no REO)vértice (-1,0), centro (-1,4), foco (-1,6). Elipse com centro na origem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar a equação de uma elipse que foi deslocada (transladada) e que atende a algumas condições específicas. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre elipses transladadas. As informações que temos são:
  • Vértice em (-1, 0)
  • Centro em (-1, 4)
  • Foco em (-1, 6)
Vamos usar isso para montar a equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma elipse transladada. A forma padrão é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Aqui, (h, k) é o centro da elipse, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.

Passo 3

Observando os pontos que temos, o centro está em (-1, 4). Então, h = -1 e k = 4. Vamos substituir esses valores na equação:
(x + 1)^2a^2 + (y - 4)^2b^2 = 1

Passo 4

Agora, precisamos determinar se o eixo maior é horizontal ou vertical. Olhando para o vértice e o foco:
  • Vértice em (-1, 0)
  • Foco em (-1, 6)
Ambos têm a mesma coordenada x, o que significa que o eixo maior é vertical, ou seja, na direção do eixo y. Portanto, a corresponde ao semi-eixo vertical e b ao semi-eixo horizontal.

Passo 5

Sabendo que o vértice está em (-1, 0) e o centro em (-1, 4), podemos calcular o valor de a. A distância entre o centro e o vértice é a.
a = |4 - 0| = 4
Então, a = 4.

Passo 6

Sabemos também que a distância entre o centro e o foco é c, onde c = 2 (pois o foco está em (-1, 6) e o centro em (-1, 4)).
A relação entre a, b e c numa elipse é:
c^2 = a^2 - b^2
Vamos usar isso para encontrar b.
2^2 = 4^2 - b^2 4 = 16 - b^2 b^2 = 16 - 4 b^2 = 12

Passo 7

Agora, já temos todos os valores que precisamos:
  • h = -1
  • k = 4
  • a = 4
  • b^2 = 12
Substituindo esses valores na equação geral:
(x + 1)^216 + (y - 4)^212 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x + 1)^216 + (y - 4)^212 = 1

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