Em cada caso determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Vértice se refere a vértice no eixo maior.
(f) (Elipse transladada: assunto não abordado no REO)vértice , centro , foco . Elipse com centro na origem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar a equação de uma elipse que foi deslocada (transladada) e que atende a algumas condições específicas. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre elipses transladadas. As informações que temos são:
Vértice em
Centro em
Foco em
Vamos usar isso para montar a equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma elipse transladada. A forma padrão é:
Aqui, é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.
Passo 3
Observando os pontos que temos, o centro está em . Então, e . Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 4
Agora, precisamos determinar se o eixo maior é horizontal ou vertical. Olhando para o vértice e o foco:
Vértice em
Foco em
Ambos têm a mesma coordenada , o que significa que o eixo maior é vertical, ou seja, na direção do eixo . Portanto, corresponde ao semi-eixo vertical e ao semi-eixo horizontal.
Passo 5
Sabendo que o vértice está em e o centro em , podemos calcular o valor de . A distância entre o centro e o vértice é .
Então, .
Passo 6
Sabemos também que a distância entre o centro e o foco é , onde (pois o foco está em e o centro em ).