Em cada caso determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Vértice se refere a vértice no eixo maior.
(f) (Elipse transladada: assunto não abordado no REO)vértice
, centro
, foco
. Elipse com centro na origem:
(f) (Elipse transladada: assunto não abordado no REO)vértice
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar a equação de uma elipse que foi deslocada (transladada) e que atende a algumas condições específicas. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre elipses transladadas. As informações que temos são:
- Vértice em
- Centro em
- Foco em
Vamos usar isso para montar a equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma elipse transladada. A forma padrão é:
Aqui,
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Observando os pontos que temos, o centro está em
. Então,
e
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 4
Agora, precisamos determinar se o eixo maior é horizontal ou vertical. Olhando para o vértice e o foco:
- Vértice em
- Foco em
Ambos têm a mesma coordenada
, o que significa que o eixo maior é vertical, ou seja, na direção do eixo
. Portanto,
corresponde ao semi-eixo vertical e
ao semi-eixo horizontal.
Passo 5
Sabendo que o vértice está em
e o centro em
, podemos calcular o valor de
. A distância entre o centro e o vértice é
.
Então,
.
Passo 6
Sabemos também que a distância entre o centro e o foco é
, onde
(pois o foco está em
e o centro em
).
A relação entre
,
e
numa elipse é:
Vamos usar isso para encontrar
.
Passo 7
Agora, já temos todos os valores que precisamos:
Substituindo esses valores na equação geral:
Resposta
A equação da elipse é: