Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=(x, y, z) in R^3|z=|x|

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial V que, nesse caso, é R^3. A gente precisa verificar se um subconjunto W de V, definido por W = (x, y, z) in R^3 mid z = |x| , é realmente um subespaço de V. Para isso, vamos lembrar que, para W ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em W. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Substituindo na condição de W, temos que para (x, y, z) = (0, 0, 0):
z = |x| implies 0 = |0| implies 0 = 0
Então, o vetor zero está sim em W. Isso significa que a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em W, a soma deles também deve estar em W.
Vamos considerar dois vetores em W:
u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2)
Sabemos que z1 = |x1| e z2 = |x2|.
A soma deles é:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Para que u + v esteja em W, precisa ser que:
z1 + z2 = |x1 + x2|
Mas, sabemos que z1 + z2 = |x1| + |x2|, e isso nem sempre é igual a |x1 + x2|. Por exemplo, se x1 = 1 e x2 = -1, então:
|1| + |-1| = 1 + 1 = 2 e |1 + (-1)| = 0
Claramente, 2 neq 0, então a soma de dois vetores em W nem sempre está em W. Isso significa que W não é fechado sob adição.

Passo 4

Apesar de já termos concluído que W não é um subespaço, vamos verificar a última condição por completude: fechamento sob multiplicação por escalar.
Pegamos um vetor em W:
u = (x, y, z) com z = |x|
E um escalar c in R. A multiplicação por c dá:
c cdot u = (c x, c y, c z)
Para que c cdot u esteja em W, precisa ser que:
c z = |c x|
Se c for positivo, isso funciona porque:
c |x| = |c x|
Mas se c for negativo, temos:
c |x| = -|c x|
Enquanto que:
|c x| = |c| |x| = -c |x|
Então, na verdade, c |x| = |c x| também, já que ambos ficam com o valor positivo. Portanto, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W não é fechado sob adição, concluímos que W não é um subespaço de V.

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