Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial
que, nesse caso, é
. A gente precisa verificar se um subconjunto
de
, definido por
, é realmente um subespaço de
. Para isso, vamos lembrar que, para
ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
, temos que para
:
Então, o vetor zero está sim em
. Isso significa que a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores em
:
Sabemos que
e
.
A soma deles é:
Para que
esteja em
, precisa ser que:
Mas, sabemos que
, e isso nem sempre é igual a
. Por exemplo, se
e
, então:
Claramente,
, então a soma de dois vetores em
nem sempre está em
. Isso significa que
não é fechado sob adição.
Passo 4
Apesar de já termos concluído que
não é um subespaço, vamos verificar a última condição por completude: fechamento sob multiplicação por escalar.
Pegamos um vetor em
:
E um escalar
. A multiplicação por
dá:
Para que
esteja em
, precisa ser que:
Se
for positivo, isso funciona porque:
Mas se
for negativo, temos:
Enquanto que:
Então, na verdade,
também, já que ambos ficam com o valor positivo. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não é fechado sob adição, concluímos que
não é um subespaço de
.