Mostre que os vetores e são linearmente dependentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que os vetores , e em são linearmente dependentes. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e usar isso para provar a dependência desses três vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existem escalares , não todos zero, tais que:
Aqui, é o vetor nulo.
Passo 3
Vamos escrever essa equação de forma expandida, usando os componentes dos vetores:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Simplificando, temos:
Observamos que as equações 1, 2 e 3 são relevantes, pois as outras são triviais (0 = 0).
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Pela equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):
Agora, substituímos e na equação (3):
Isso confirma que as relações encontradas são consistentes.
Passo 6
Dessa forma, temos que:
Podemos escolher um valor para , por exemplo, :
Portanto, temos uma combinação não trivial:
Resposta
Os vetores e são linearmente dependentes porque existe uma combinação não trivial .