Mostre que os vetores e são linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que os vetores , e em são linearmente dependentes. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e usar isso para provar a dependência desses três vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existem escalares , não todos zero, tais que:
Aqui, é o vetor nulo.

Passo 3

Vamos escrever essa equação de forma expandida, usando os componentes dos vetores:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Simplificando, temos:
Observamos que as equações 1, 2 e 3 são relevantes, pois as outras são triviais (0 = 0).

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Pela equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):
Agora, substituímos e na equação (3):
Isso confirma que as relações encontradas são consistentes.

Passo 6

Dessa forma, temos que:
Podemos escolher um valor para , por exemplo, :
Portanto, temos uma combinação não trivial:

Resposta

Os vetores e são linearmente dependentes porque existe uma combinação não trivial .

Exercícios relacionados

Nos problemas a seguir, classificar e resolver os sistemas:
Mostre que os vetores e são linearmente dependentes.
Em cada caso determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Vértice se refere a vértice no eixo maior.
(f) (Elipse transladada: assunto não abordado no REO)vértice , centro , foco . Elipse com centro na origem:
Seja V o conjunto de todos os números reais positivos. Determine se é um espaço vetorial com as operações mostradas abaixo:
Se for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, identifique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.