Mostre que os vetores (0,-1,0,0,1),(0,1,1,0,1) e (0,1,2,0,3) in R^5 são linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que os vetores , e em são linearmente dependentes. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e usar isso para provar a dependência desses três vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existem escalares c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 , não todos zero, tais que:
Aqui, é o vetor nulo.

Passo 3

Vamos escrever essa equação de forma expandida, usando os componentes dos vetores:
c1 0 -1 0 0 1 + c2 0 1 1 0 1 + c3 0 1 2 0 3 = 0 0 0 0 0
Isso nos dá um sistema de equações:
0c1 + 0c2 + 0c3 = 0 -1c1 + 1c2 + 1c3 = 0 0c1 + 1c2 + 2c3 = 0 0c1 + 0c2 + 0c3 = 0 1c1 + 1c2 + 3c3 = 0

Passo 4

Simplificando, temos:
- c1 + c2 + c3 = 0 (1) c2 + 2c3 = 0 (2) c1 + c2 + 3c3 = 0 (3)
Observamos que as equações 1, 2 e 3 são relevantes, pois as outras são triviais (0 = 0).

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Pela equação (2):
c2 = -2c3
Agora, substituímos - c1 + (-2c3) + c3 = 0 - c1 - c3 = 0 c1 = -c3 na equação (1):
(-c3) + (-2c3) + 3c3 = 0 - c3 - 2c3 + 3c3 = 0 0 = 0
Agora, substituímos e na equação (3):
Isso confirma que as relações encontradas são consistentes.

Passo 6

Dessa forma, temos que:
c1 = -c3 c2 = -2c3
Podemos escolher um valor para c1 = -1 c2 = -2 c3 = 1 , por exemplo, -1 cdot v1 - 2 cdot v2 + 1 cdot v3 = 0 :
Portanto, temos uma combinação não trivial:

Resposta

Os vetores e são linearmente dependentes porque existe uma combinação não trivial .

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