Seja V o conjunto de todos os números reais positivos. Determine se V é um espaço vetorial com as operações mostradas abaixo:
c x+y=x y alpha cdot x=x^alpha
Se for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, identifique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto x + y = x cdot y alpha cdot x = x^alpha que inclui todos os números reais positivos. Queremos descobrir se é um espaço vetorial usando as operações definidas da seguinte maneira:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa satisfazer certos axiomas, como fechamento, associatividade, existência de identidade e inversos, distributividade, entre outros. Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da adição
Para quaisquer , a soma também deve estar em .
Como é o conjunto de números reais positivos e o produto de dois números reais positivos é positivo, esse axioma é satisfeito.

Passo 4

Axioma 2: Comutatividade da adição
Para quaisquer , .
Aqui, e . Como a multiplicação é comutativa (ou seja, ), esse axioma também é satisfeito.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da adição
Para quaisquer (x + y) + z = (x cdot y) cdot z = x cdot y cdot z , x + (y + z) = x cdot (y cdot z) = x cdot y cdot z .
Vamos calcular cada lado:
Igualdade satisfeita, então o axioma é válido.

Passo 6

Axioma 4: Existência de elemento neutro para a adição
Deve existir um elemento tal que para todo .
Aqui, . Para que , precisaríamos que seja igual a , já que . Porém, não está em (que só inclui números positivos) e não satisfaz no contexto do elemento neutro que deveria ser aditivo. Portanto, não existe um elemento neutro válido para a adição em .

Passo 7

Conclusão
Como o axioma da existência do elemento neutro para a adição não é satisfeito, não é um espaço vetorial com as operações definidas.

Resposta

O conjunto dos números reais positivos com as operações dadas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma da existência de elemento neutro para a adição.

Exercícios relacionados