Seja V o conjunto de todos os números reais positivos. Determine se
é um espaço vetorial com as operações mostradas abaixo:
Se for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, identifique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
que inclui todos os números reais positivos. Queremos descobrir se
é um espaço vetorial usando as operações definidas da seguinte maneira:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa satisfazer certos axiomas, como fechamento, associatividade, existência de identidade e inversos, distributividade, entre outros. Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da adição
Para quaisquer
, a soma
também deve estar em
.
Como
é o conjunto de números reais positivos e o produto de dois números reais positivos é positivo, esse axioma é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da adição
Para quaisquer
,
.
Aqui,
e
. Como a multiplicação é comutativa (ou seja,
), esse axioma também é satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da adição
Para quaisquer
,
.
Vamos calcular cada lado:
Igualdade satisfeita, então o axioma é válido.
Passo 6
Axioma 4: Existência de elemento neutro para a adição
Deve existir um elemento
tal que
para todo
.
Aqui,
. Para que
, precisaríamos que
seja igual a
, já que
. Porém,
não está em
(que só inclui números positivos) e
não satisfaz
no contexto do elemento neutro que deveria ser aditivo. Portanto, não existe um elemento neutro válido para a adição em
.
Passo 7
Conclusão
Como o axioma da existência do elemento neutro para a adição não é satisfeito,
não é um espaço vetorial com as operações definidas.
Resposta
O conjunto
dos números reais positivos com as operações dadas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma da existência de elemento neutro para a adição.