Em cada caso determine a equação da parábola que satisfaz:
vértice na origem, com reta diretriz
vértice na origem, com reta diretriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da parábola que tem o vértice na origem (0,0) e cuja reta diretriz é
. Aqui, vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas e suas definições envolvendo vértice e diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o vértice está na origem e a diretriz é
.
Passo 3
Como a diretriz é
, isso significa que a diretriz é uma linha vertical passando pelo ponto
. Portanto, a parábola será simétrica em relação ao eixo
, pois o vértice está na origem.
Passo 4
Agora, vamos determinar a distância entre o vértice e a diretriz. A distância
é a metade da distância entre o foco e a diretriz. Como a diretriz está em
e o vértice está em
, temos
.
Passo 5
Sabemos que para uma parábola com o vértice na origem e diretriz vertical, a equação geral é:
Onde
é a distância do vértice ao foco.
Passo 6
Substituindo
na equação, temos:
Resposta
A equação da parábola é
.