Em cada caso determine a equação da parábola que satisfaz:
vértice na origem, com reta diretriz

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da parábola que tem o vértice na origem (0,0) e cuja reta diretriz é . Aqui, vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas e suas definições envolvendo vértice e diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o vértice está na origem e a diretriz é .

Passo 3

Como a diretriz é , isso significa que a diretriz é uma linha vertical passando pelo ponto . Portanto, a parábola será simétrica em relação ao eixo , pois o vértice está na origem.

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância entre o vértice e a diretriz. A distância é a metade da distância entre o foco e a diretriz. Como a diretriz está em e o vértice está em , temos .

Passo 5

Sabemos que para uma parábola com o vértice na origem e diretriz vertical, a equação geral é:
Onde é a distância do vértice ao foco.

Passo 6

Substituindo na equação, temos:

Resposta

A equação da parábola é .

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