Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que .

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para a gente descobrir se existe ou não uma transformação linear que vai de (o espaço dos polinômios de grau no máximo 5) para (o espaço das matrizes 2x2), e que o núcleo dessa transformação ( ) seja igual a 1. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, espaço nulo (núcleo) e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a dimensão do núcleo ( ) mais a dimensão da imagem ( ) é igual à dimensão do espaço de partida. Isso é conhecido como Teorema da Dimensão. Ou seja:

Passo 3

Sabemos que porque um polinômio de grau no máximo 5 tem 6 coeficientes (de até ). Então, substituindo na equação:

Passo 4

Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos considerar a dimensão da imagem. tem dimensão 4, já que uma matriz 2x2 tem 4 entradas independentes. Mas aqui chegamos a uma contradição, porque a dimensão da imagem não pode exceder a dimensão do espaço de chegada. Ou seja:

Passo 6

No nosso caso, encontramos que , o que é maior do que 4. Isso não é possível, pois a imagem não pode ter uma dimensão maior que o espaço para onde está mapeando.

Resposta

Portanto, não existe uma transformação linear tal que .

Exercícios relacionados

Verifique se as transformações abaixo são lineares: .
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja sobrejetiva.
Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear, podemos ter ?
Verifique se as transformações abaixo são lineares: