Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para a gente descobrir se existe ou não uma transformação linear
que vai de
(o espaço dos polinômios de grau no máximo 5) para
(o espaço das matrizes 2x2), e que o núcleo dessa transformação (
) seja igual a 1. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, espaço nulo (núcleo) e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a dimensão do núcleo (
) mais a dimensão da imagem (
) é igual à dimensão do espaço de partida. Isso é conhecido como Teorema da Dimensão. Ou seja:
Passo 3
Sabemos que
porque um polinômio de grau no máximo 5 tem 6 coeficientes (de
até
). Então, substituindo na equação:
Passo 4
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos considerar a dimensão da imagem.
tem dimensão 4, já que uma matriz 2x2 tem 4 entradas independentes. Mas aqui chegamos a uma contradição, porque a dimensão da imagem não pode exceder a dimensão do espaço de chegada. Ou seja:
Passo 6
No nosso caso, encontramos que
, o que é maior do que 4. Isso não é possível, pois a imagem não pode ter uma dimensão maior que o espaço para onde está mapeando.
Resposta
Portanto, não existe uma transformação linear
tal que
.
Exercícios relacionados
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja sobrejetiva.
Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear, podemos ter
?
Se
Verifique se as transformações abaixo são lineares: