Verifique se as transformações abaixo são lineares: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a transformação , definida por , é linear. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares. Uma transformação é linear se ela preserva a adição e a multiplicação por escalar. Ou seja, precisamos checar duas coisas:
  1. para quaisquer vetores e .
  2. para qualquer vetor e escalar .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a preservação da adição. Seja e . Vamos calcular e :
Então,
Agora, vamos calcular :
Viu só? . Isso confirma que a transformação preserva a adição.

Passo 3

Agora, vamos ver se a transformação preserva a multiplicação por escalar. Seja um escalar qualquer e . Vamos calcular e :
Agora,
Perfeito! . A transformação também preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como a transformação preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja sobrejetiva.
Verifique se as transformações abaixo são lineares: .
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que .
Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear, podemos ter ?