Verifique se as transformações abaixo são lineares: F: R^3 R, F(x, y, z)=x+5 y-z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a transformação , definida por , é linear. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares. Uma transformação é linear se ela preserva a adição e a multiplicação por escalar. Ou seja, precisamos checar duas coisas:
  1. para quaisquer vetores e .
  2. para qualquer vetor e escalar .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a preservação da adição. Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e F(u + v) = (x1 + x2) + 5(y1 + y2) - (z1 + z2) . Vamos calcular = x1 + x2 + 5y1 + 5y2 - z1 - z2 e F(u) = x1 + 5y1 - z1 :
F(v) = x2 + 5y2 - z2
Então,
F(u) + F(v) = (x1 + 5y1 - z1) + (x2 + 5y2 - z2)
= x1 + x2 + 5y1 + 5y2 - z1 - z2
Agora, vamos calcular :
Viu só? . Isso confirma que a transformação preserva a adição.

Passo 3

Agora, vamos ver se a transformação preserva a multiplicação por escalar. Seja cu = (cx, cy, cz) um escalar qualquer e F(cu) = cx + 5(cy) - cz = c(x + 5y - z) . Vamos calcular cF(u) = c(x + 5y - z) = c(x + 5y - z) e :
Agora,
Perfeito! . A transformação também preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como a transformação preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que é uma transformação linear.

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