Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a transformação
, definida por
, é linear. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares. Uma transformação é linear se ela preserva a adição e a multiplicação por escalar. Ou seja, precisamos checar duas coisas:
-
para quaisquer vetores e . -
para qualquer vetor e escalar .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a preservação da adição. Seja
e
. Vamos calcular
e
:
Então,
Agora, vamos calcular
:
Viu só?
. Isso confirma que a transformação preserva a adição.
Passo 3
Agora, vamos ver se a transformação preserva a multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
. Vamos calcular
e
:
Agora,
Perfeito!
. A transformação também preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Como a transformação
preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que
é uma transformação linear.
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Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja sobrejetiva.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.
Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear, podemos ter
?
Se