Verifique se as transformações abaixo são lineares: F: Pn(R) Pn(R), F(p)=p^prime+p^prime prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a transformação , definida por , é linear. Isso tá relacionado ao conteúdo de transformações lineares. Pra resolver, vamos precisar lembrar o que faz uma transformação ser linear e aplicar isso nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer polinômios e em e para qualquer escalar , as duas condições abaixo são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Então, pra verificar se é linear, a gente precisa testar essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos testar a primeira condição, a da adição. Seja F(p + q) = (p + q)' + (p + q)'' e = p' + q' + p'' + q'' = (p' + p'') + (q' + q'') = F(p) + F(q) dois polinômios em . A gente calcula e vê se dá pra separar em .
Usando as propriedades das derivadas:
Então, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição, a da multiplicação por escalar. Seja F(cp) = (cp)' + (cp)'' um escalar e = c p' + c p'' = c(p' + p'') = c F(p) um polinômio em . A gente calcula :
Sabemos que a derivada de um escalar vezes uma função é o escalar vezes a derivada da função:
Então, a segunda condição também é satisfeita.

Resposta

Como as duas condições para uma transformação linear são atendidas, a transformação é linear.

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