Verifique se as transformações abaixo são lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a transformação
, definida por
, é linear. Isso tá relacionado ao conteúdo de transformações lineares. Pra resolver, vamos precisar lembrar o que faz uma transformação ser linear e aplicar isso nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer polinômios
e
em
e para qualquer escalar
, as duas condições abaixo são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Então, pra verificar se
é linear, a gente precisa testar essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos testar a primeira condição, a da adição. Seja
e
dois polinômios em
. A gente calcula
e vê se dá pra separar em
.
Usando as propriedades das derivadas:
Então, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição, a da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
um polinômio em
. A gente calcula
:
Sabemos que a derivada de um escalar vezes uma função é o escalar vezes a derivada da função:
Então, a segunda condição também é satisfeita.
Resposta
Como as duas condições para uma transformação linear são atendidas, a transformação
é linear.
Exercícios relacionados
Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear, podemos ter
?
Se
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.
Em
, considere
.
© Se , quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?
© Se
Seja
a base canônica de
. Se
é dada por
Determine
e
.