Verifique se as transformações abaixo são lineares:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a transformação , definida por , é linear. Isso tá relacionado ao conteúdo de transformações lineares. Pra resolver, vamos precisar lembrar o que faz uma transformação ser linear e aplicar isso nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer polinômios e em e para qualquer escalar , as duas condições abaixo são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Então, pra verificar se é linear, a gente precisa testar essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos testar a primeira condição, a da adição. Seja e dois polinômios em . A gente calcula e vê se dá pra separar em .
Usando as propriedades das derivadas:
Então, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição, a da multiplicação por escalar. Seja um escalar e um polinômio em . A gente calcula :
Sabemos que a derivada de um escalar vezes uma função é o escalar vezes a derivada da função:
Então, a segunda condição também é satisfeita.

Resposta

Como as duas condições para uma transformação linear são atendidas, a transformação é linear.

Exercícios relacionados

Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear, podemos ter ?
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que .
Em , considere .
© Se , quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?
Seja a base canônica de . Se é dada por
Determine e .