Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se T: R^5 R^6 é uma transformação linear, podemos ter dim Im(T) >= 6 ?

Passo 1

Vamos resolver uma questão de Transformações Lineares. O enunciado pergunta se, para uma transformação linear , a dimensão da imagem de pode ser maior ou igual a 6. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de dimensão da imagem de uma transformação linear e aplicar o Teorema do Núcleo da Dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos através de aplicado a algum vetor em .

Passo 3

A dimensão da imagem de dim R^5 = dim Im(T) + dim ker(T) , , é conhecida como o posto de . O Teorema do Núcleo da Dimensão nos diz que:
Onde é o núcleo de , ou seja, o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero em .

Passo 4

Como 5 = dim Im(T) + dim ker(T) , podemos escrever:
dim Im(T) = 5 - dim ker(T)
Isso implica que:

Passo 5

Observando a equação acima, vemos que a dimensão da imagem de depende da dimensão do núcleo de . Como a dimensão do núcleo não pode ser negativa, o máximo que pode ser é 5, quando .

Passo 6

Portanto, não é possível que , já que o máximo que ela pode atingir é 5.

Resposta

Não, para uma transformação linear , a dimensão da imagem não pode ser maior ou igual a 6; o máximo possível é 5.

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