Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se
é uma transformação linear, podemos ter
?
Se
Passo 1
Vamos resolver uma questão de Transformações Lineares. O enunciado pergunta se, para uma transformação linear
, a dimensão da imagem de
pode ser maior ou igual a 6. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de dimensão da imagem de uma transformação linear e aplicar o Teorema do Núcleo da Dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos através de
aplicado a algum vetor em
.
Passo 3
A dimensão da imagem de
,
, é conhecida como o posto de
. O Teorema do Núcleo da Dimensão nos diz que:
Onde
é o núcleo de
, ou seja, o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero em
.
Passo 4
Como
, podemos escrever:
Isso implica que:
Passo 5
Observando a equação acima, vemos que a dimensão da imagem de
depende da dimensão do núcleo de
. Como a dimensão do núcleo não pode ser negativa, o máximo que
pode ser é 5, quando
.
Passo 6
Portanto, não é possível que
, já que o máximo que ela pode atingir é 5.
Resposta
Não, para uma transformação linear
, a dimensão da imagem não pode ser maior ou igual a 6; o máximo possível é 5.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
Em
, considere
.
© Se , quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?
© Se