Seja
um isomorfismo. Se
é tal que
(ou
), prove que
é linear.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Temos um isomorfismo
, que basicamente significa que
é uma função linear que tem uma inversa
. Além disso,
é uma função que, quando composta com
, dá a identidade em
, ou seja,
, ou com
. O nosso objetivo aqui é provar que
é uma transformação linear.
Passo 2
Para provar que
é linear, precisamos mostrar duas coisas: que
preserva a adição e a multiplicação por escalar. Em outras palavras, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, precisamos mostrar que:
Passo 3
Vamos começar mostrando que
preserva a adição. Sabemos que
é linear, então:
Mas como
, temos:
E também:
Portanto:
Como
é um isomorfismo (linear e bijetora), podemos concluir que:
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Novamente, como
é linear:
E usando
, temos:
Por outro lado,
Assim:
Mais uma vez, como
é um isomorfismo, podemos concluir que:
Resposta
Portanto,
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja injetiva.
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
.
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de
.
(d) e
;
(d)
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
e
.