Seja um isomorfismo. Se é tal que (ou ), prove que é linear.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos um isomorfismo , que basicamente significa que é uma função linear que tem uma inversa . Além disso, é uma função que, quando composta com , dá a identidade em , ou seja, , ou com . O nosso objetivo aqui é provar que é uma transformação linear.

Passo 2

Para provar que é linear, precisamos mostrar duas coisas: que preserva a adição e a multiplicação por escalar. Em outras palavras, para quaisquer vetores e qualquer escalar , precisamos mostrar que:

Passo 3

Vamos começar mostrando que preserva a adição. Sabemos que é linear, então:
Mas como , temos:
E também:
Portanto:
Como é um isomorfismo (linear e bijetora), podemos concluir que:

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Novamente, como é linear:
E usando , temos:
Por outro lado,
Assim:
Mais uma vez, como é um isomorfismo, podemos concluir que:

Resposta

Portanto, é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja injetiva.
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: .
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
(d) e ;
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que e .