Seja A: E F um isomorfismo. Se T: F E é tal que A T=IF (ou T A=IE ), prove que T é linear.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos um isomorfismo , que basicamente significa que é uma função linear que tem uma inversa . Além disso, é uma função que, quando composta com , dá a identidade em , ou seja, , ou com . O nosso objetivo aqui é provar que é uma transformação linear.

Passo 2

Para provar que T(u + v) = T(u) + T(v) é linear, precisamos mostrar duas coisas: que T(cu) = c T(u) preserva a adição e a multiplicação por escalar. Em outras palavras, para quaisquer vetores e qualquer escalar , precisamos mostrar que:

Passo 3

Vamos começar mostrando que A(T(u + v)) = A(T(u)) + A(T(v)) preserva a adição. Sabemos que A(T(u + v)) = (IF)(u + v) = u + v é linear, então:
A(T(u)) + A(T(v)) = IF(u) + IF(v) = u + v
Mas como A(T(u + v)) = A(T(u)) + A(T(v)) , temos:
T(u + v) = T(u) + T(v)
E também:
Portanto:
Como é um isomorfismo (linear e bijetora), podemos concluir que:

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Novamente, como A(T(cu)) = c A(T(u)) é linear:
A(T(cu)) = c u
E usando c A(T(u)) = c IF(u) = c u , temos:
A(T(cu)) = c A(T(u))
Por outro lado,
T(cu) = c T(u)
Assim:
Mais uma vez, como é um isomorfismo, podemos concluir que:

Resposta

Portanto, é uma transformação linear.

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