Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma transformação linear
que vai de
(o espaço de polinômios de grau até 8) para
. Queremos saber se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições:
- A dimensão do núcleo de
, . - A dimensão da imagem de
, .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Dimensão, que relaciona a dimensão do domínio, do núcleo e da imagem de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são o núcleo e a imagem de uma transformação linear.
- Núcleo (N(T)): Conjunto de todos os vetores
no domínio tal que . - Imagem (Im(T)): Conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
para algum no domínio.
Passo 3
O Teorema da Dimensão nos diz que para uma transformação linear
,
Isso significa que a dimensão do espaço de partida é igual à soma das dimensões do núcleo e da imagem.
Passo 4
Vamos aplicar esse teorema ao nosso caso. Sabemos que:
Então, pelo Teorema da Dimensão:
Passo 5
Agora, sabemos que o espaço
(polinômios de grau até 8) tem dimensão 9, porque qualquer polinômio de grau até 8 pode ser representado por 9 coeficientes (do grau 0 ao 8).
Então, se:
E de acordo com nossas condições:
Percebe-se que
não é igual a
, o que significa que há uma inconsistência.
Resposta
Não existe uma transformação linear
com
e
, pois a soma das dimensões não coincide com a dimensão do espaço de partida.