Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
T: P8 R^8 tal que dim N(T)=2 e dim Im(T)=6.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma transformação linear que vai de (o espaço de polinômios de grau até 8) para . Queremos saber se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições:
  • A dimensão do núcleo de , .
  • A dimensão da imagem de , .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Dimensão, que relaciona a dimensão do domínio, do núcleo e da imagem de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são o núcleo e a imagem de uma transformação linear.
  • Núcleo (N(T)): Conjunto de todos os vetores no domínio tal que .
  • Imagem (Im(T)): Conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum no domínio.

Passo 3

O Teorema da Dimensão nos diz que para uma transformação linear dim V = dim N(T) + dim Im(T) ,
Isso significa que a dimensão do espaço de partida é igual à soma das dimensões do núcleo e da imagem.

Passo 4

Vamos aplicar esse teorema ao nosso caso. Sabemos que:
  • dim P8 = dim N(T) + dim Im(T)
  • dim P8 = 2 + 6 = 8
Então, pelo Teorema da Dimensão:

Passo 5

Agora, sabemos que o espaço dim P8 = 9 (polinômios de grau até 8) tem dimensão 9, porque qualquer polinômio de grau até 8 pode ser representado por 9 coeficientes (do grau 0 ao 8).
Então, se:
2 + 6 = 8
E de acordo com nossas condições:
Percebe-se que não é igual a , o que significa que há uma inconsistência.

Resposta

Não existe uma transformação linear com e , pois a soma das dimensões não coincide com a dimensão do espaço de partida.

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