Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a transformação
, definida por
, é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares e as propriedades que elas precisam satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela respeita duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar se
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos começar verificando a propriedade da adição. Pegue dois vetores quaisquer em
, digamos
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Para que a propriedade da adição seja válida, precisamos que:
Isso só é verdade se
e
tiverem o mesmo sinal. Portanto, a propriedade da adição não é válida para todos os vetores em
.
Passo 4
Já que a propriedade da adição não se mantém, já podemos concluir que
não é uma transformação linear. Mas por segurança, vamos verificar a segunda propriedade, a da multiplicação por escalar.
Pegue um vetor qualquer
e um escalar
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Para a propriedade da multiplicação por escalar valer, precisamos que:
Isso só é verdade se
for não negativo. Portanto, para valores negativos de
, a igualdade não se mantém.
Resposta
Como a transformação
não satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar para todos os vetores e escalares, concluímos que
não é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Dadas as transformações lineares
, assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas:
sobrejetiva
sobrejetiva.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
e
.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.