Verifique se as transformações abaixo são lineares: F: R^3 R^2, F(x, y, z)=(|x|, y+2 z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a transformação , definida por , é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares e as propriedades que elas precisam satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar se satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando a propriedade da adição. Pegue dois vetores quaisquer em F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (|x1 + x2|, (y1 + y2) + 2(z1 + z2)) , digamos F(u) + F(v) = (|x1|, y1 + 2z1) + (|x2|, y2 + 2z2) = (|x1| + |x2|, (y1 + y2) + 2(z1 + z2)) e |x1 + x2| = |x1| + |x2| .
Calculando :
Agora, calculando :
Para que a propriedade da adição seja válida, precisamos que:
Isso só é verdade se e tiverem o mesmo sinal. Portanto, a propriedade da adição não é válida para todos os vetores em .

Passo 4

Já que a propriedade da adição não se mantém, já podemos concluir que F(cu) = F(cx, cy, cz) = (|cx|, cy + 2cz) = (|c||x|, c(y + 2z)) não é uma transformação linear. Mas por segurança, vamos verificar a segunda propriedade, a da multiplicação por escalar.
Pegue um vetor qualquer cF(u) = c(|x|, y + 2z) = (c|x|, c(y + 2z)) e um escalar |c||x| = c|x| .
Calculando :
Agora, calculando :
Para a propriedade da multiplicação por escalar valer, precisamos que:
Isso só é verdade se for não negativo. Portanto, para valores negativos de , a igualdade não se mantém.

Resposta

Como a transformação não satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar para todos os vetores e escalares, concluímos que não é uma transformação linear.

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