Verifique se as transformações abaixo são lineares: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a transformação , definida por , é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares e as propriedades que elas precisam satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar se satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando a propriedade da adição. Pegue dois vetores quaisquer em , digamos e .
Calculando :
Agora, calculando :
Para que a propriedade da adição seja válida, precisamos que:
Isso só é verdade se e tiverem o mesmo sinal. Portanto, a propriedade da adição não é válida para todos os vetores em .

Passo 4

Já que a propriedade da adição não se mantém, já podemos concluir que não é uma transformação linear. Mas por segurança, vamos verificar a segunda propriedade, a da multiplicação por escalar.
Pegue um vetor qualquer e um escalar .
Calculando :
Agora, calculando :
Para a propriedade da multiplicação por escalar valer, precisamos que:
Isso só é verdade se for não negativo. Portanto, para valores negativos de , a igualdade não se mantém.

Resposta

Como a transformação não satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar para todos os vetores e escalares, concluímos que não é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: sobrejetiva sobrejetiva.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que e .
Verifique se as transformações abaixo são lineares: .
Verifique se as transformações abaixo são lineares: .