Dadas as transformações lineares
, assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas:
sobrejetiva
sobrejetiva.
Passo 1
Então, galera! Temos um exercício que envolve transformações lineares. A questão fala sobre duas transformações,
e
. Precisamos determinar se a afirmação “Se
é sobrejetiva, então
é sobrejetiva” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma transformação ser sobrejetiva e como a composição de duas transformações lineares funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação sobrejetiva. Uma transformação linear
é sobrejetiva se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Em outras palavras, o mapeamento
“cobre” todo o espaço
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na composição das transformações
. A transformação
é a aplicação de
seguida de
. Se
é sobrejetiva, isso significa que para todo
em
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 4
Queremos saber se isso implica que
é sobrejetiva, ou seja, se para todo
em
, existe um
em
tal que
. Para que
seja sobrejetiva, o alcance de
deve cobrir todo o espaço
.
Passo 5
Vamos analisar por contradição. Suponha que
seja sobrejetiva, mas
não seja sobrejetiva. Se
não é sobrejetiva, então existe pelo menos um elemento
em
que não é atingido por
. Isso significa que
nunca poderá mapear algum elemento para além desse ponto, já que
não está na imagem de
. Assim,
não conseguiria cobrir todo
, o que contraria a suposição de que
é sobrejetiva.
Passo 6
Portanto, nossa suposição de que
não é sobrejetiva leva a uma contradição. Isso confirma que se
é sobrejetiva, então
deve ser sobrejetiva também.
Resposta
(V) Verdadeira. Se a composição
é sobrejetiva, então
também deve ser sobrejetiva.