Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: sobrejetiva sobrejetiva.
Passo 1
Então, galera! Temos um exercício que envolve transformações lineares. A questão fala sobre duas transformações, e . Precisamos determinar se a afirmação "Se é sobrejetiva, então é sobrejetiva" é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma transformação ser sobrejetiva e como a composição de duas transformações lineares funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação sobrejetiva. Uma transformação linear é sobrejetiva se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Em outras palavras, o mapeamento "cobre" todo o espaço .
Passo 3
Agora, vamos pensar na composição das transformações . A transformação é a aplicação de seguida de . Se é sobrejetiva, isso significa que para todo em , existe pelo menos um em tal que .
Passo 4
Queremos saber se isso implica que é sobrejetiva, ou seja, se para todo em , existe um em tal que . Para que seja sobrejetiva, o alcance de deve cobrir todo o espaço .
Passo 5
Vamos analisar por contradição. Suponha que seja sobrejetiva, mas não seja sobrejetiva. Se não é sobrejetiva, então existe pelo menos um elemento em que não é atingido por . Isso significa que nunca poderá mapear algum elemento para além desse ponto, já que não está na imagem de . Assim, não conseguiria cobrir todo , o que contraria a suposição de que é sobrejetiva.
Passo 6
Portanto, nossa suposição de que não é sobrejetiva leva a uma contradição. Isso confirma que se é sobrejetiva, então deve ser sobrejetiva também.
Resposta
(V) Verdadeira. Se a composição é sobrejetiva, então também deve ser sobrejetiva.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que e .
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
(d) e ;
Verifique se as transformações abaixo são lineares: .
Verifique se as transformações abaixo são lineares: .