Uma matriz quadrada A=(ai j)n times n é dita triangular superior se ai j=0, quando i>j. Dizemos que A é triangular inferior se ai j=0, quando i. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos ai i, isto é, i=j. (j) Toda matriz diagonal é simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que “Toda matriz diagonal é simétrica”. Isso está relacionado aos conceitos de matrizes diagonais e matrizes simétricas. Para resolver isso, precisamos entender o que caracteriza cada tipo de matriz e ver se toda matriz diagonal realmente cumpre as condições para ser simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz quadrada é simétrica se ela for igual à sua transposta. Isso significa que para todos os e . Em outras palavras, os elementos espelhados em relação à diagonal principal são iguais.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma matriz diagonal. Uma matriz quadrada é dita diagonal se todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, para todo . A única coisa que pode ter de diferente é os elementos na diagonal principal, .

Passo 4

Vamos verificar se toda matriz diagonal é simétrica. Para uma matriz diagonal, sabemos que quando . Agora, para ser simétrica, precisamos que .
Considerando dois elementos quaisquer e :
  • Se , então e . Logo, .
  • Se , não há problema porque naturalmente.
Portanto, todos os elementos espelhados são iguais, o que satisfaz a condição de simetria.

Resposta

Sim, toda matriz diagonal é simétrica.

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