Uma matriz quadrada é dita triangular superior se , quando . Dizemos que é triangular inferior se , quando . Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos , isto é, . (j) Toda matriz diagonal é simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que “Toda matriz diagonal é simétrica”. Isso está relacionado aos conceitos de matrizes diagonais e matrizes simétricas. Para resolver isso, precisamos entender o que caracteriza cada tipo de matriz e ver se toda matriz diagonal realmente cumpre as condições para ser simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz quadrada é simétrica se ela for igual à sua transposta. Isso significa que para todos os e . Em outras palavras, os elementos espelhados em relação à diagonal principal são iguais.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma matriz diagonal. Uma matriz quadrada é dita diagonal se todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, para todo . A única coisa que pode ter de diferente é os elementos na diagonal principal, .
Passo 4
Vamos verificar se toda matriz diagonal é simétrica. Para uma matriz diagonal, sabemos que quando . Agora, para ser simétrica, precisamos que .
Considerando dois elementos quaisquer e :
Se , então e . Logo, .
Se , não há problema porque naturalmente.
Portanto, todos os elementos espelhados são iguais, o que satisfaz a condição de simetria.