Uma matriz quadrada
é dita triangular superior se
, quando
. Dizemos que
é triangular inferior se
, quando
. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos
, isto é,
. (j) Toda matriz diagonal é simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que “Toda matriz diagonal é simétrica”. Isso está relacionado aos conceitos de matrizes diagonais e matrizes simétricas. Para resolver isso, precisamos entender o que caracteriza cada tipo de matriz e ver se toda matriz diagonal realmente cumpre as condições para ser simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz quadrada
é simétrica se ela for igual à sua transposta. Isso significa que
para todos os
e
. Em outras palavras, os elementos espelhados em relação à diagonal principal são iguais.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma matriz diagonal. Uma matriz quadrada é dita diagonal se todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja,
para todo
. A única coisa que pode ter de diferente é os elementos na diagonal principal,
.
Passo 4
Vamos verificar se toda matriz diagonal é simétrica. Para uma matriz diagonal, sabemos que
quando
. Agora, para ser simétrica, precisamos que
.
Considerando dois elementos quaisquer
e
:
- Se
, então e . Logo, . - Se
, não há problema porque naturalmente.
Portanto, todos os elementos espelhados são iguais, o que satisfaz a condição de simetria.
Resposta
Sim, toda matriz diagonal é simétrica.