Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se existe uma transformação linear tal que a dimensão da imagem de esteja entre 2 e 8, ou seja, . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e dimensões de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as dimensões dos espaços de partida e chegada influenciam a dimensão da imagem da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 7. A dimensão desse espaço é 8, porque um polinômio de grau até 7 tem 8 coeficientes (de até ).

Passo 3

A transformação linear leva vetores de um espaço de dimensão 8 para um espaço de dimensão 10. A dimensão da imagem de , , que também chamamos de posto de , é o número de vetores linearmente independentes que resultam da transformação.

Passo 4

O que precisamos saber é qual o intervalo possível para . De acordo com o teorema do posto, temos que:
Além disso, o posto também pode ser tão baixo quanto 0 (se toda a transformação mandar tudo para o vetor zero), mas no nosso caso queremos que seja pelo menos 2.

Passo 5

Então, queremos saber se existe uma transformação linear cujo posto seja entre 2 e 8. Sabemos que pode variar de 0 a 8. Portanto, sim, é possível ter transformações lineares com posto 2, 3, 4, …, até 8.

Resposta

Sim, existem transformações lineares cuja dimensão da imagem está entre 2 e 8.

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que .
Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: injetiva injetiva.
Uma matriz quadrada é dita triangular superior se , quando . Dizemos que é triangular inferior se , quando . Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos , isto é, . (j) Toda matriz diagonal é simétrica.
Sejam
© Justifique porque o vetor é combinação linear de e encontre as coordenadas em relação a base .