Sejam
u=(1,1,0), v=(1,-1,1), w=(2,1,3)
© Justifique porque o vetor A G é combinação linear de u, v, w e encontre as coordenadas em relação a base B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para justificarmos por que o vetor AG é uma combinação linear dos vetores u, v e w, além de encontrarmos as coordenadas desse vetor em relação à base B formada por esses três vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como representamos um vetor em uma base específica.

Passo 2

Primeiro, combinação linear significa que podemos escrever o vetor AG como uma soma de múltiplos escalonados dos vetores u, v e w. Ou seja, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
AG = au + bv + cw

Passo 3

Vamos supor que AG = (x, y, z), já que não foi dado explicitamente. Assim, temos:
(x, y, z) = a(1,1,0) + b(1,-1,1) + c(2,1,3)
Distribuindo os escalares:
(x, y, z) = (a + b + 2c, a - b + c, 0 + b + 3c)

Passo 4

Isso nos dá um sistema de equações:
a + b + 2c = x a - b + c = y b + 3c = z
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores de a, b e c em termos de x, y e z.

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. A partir da terceira equação:
b + 3c = z Rightarrow b = z - 3c
Agora, substituímos b na segunda equação:
a - (z - 3c) + c = y Rightarrow a - z + 3c + c = y Rightarrow a + 4c = y + z Rightarrow a = y + z - 4c
Finalmente, substituímos a e b na primeira equação:
(y + z - 4c) + (z - 3c) + 2c = x y + z - 4c + z - 3c + 2c = x y + 2z - 5c = x Rightarrow c = y + 2z - x5

Passo 6

Agora que encontramos c, podemos voltar e encontrar b e a:
b = z - 3c = z - 3(y + 2z - x5) = 5z - 3y - 6z + 3x5 = 3x - 3y - z5 = 3(x - y) - z5
a = y + z - 4c = y + z - 4(y + 2z - x5) = 5y + 5z - 4y - 8z + 4x5 = y - 3z + 4x5

Passo 7

Portanto, os escalares são:
a = 4x + y - 3z5, b = 3x - 3y - z5, c = y + 2z - x5
Isso mostra que conseguimos expressar AG como uma combinação linear de u, v e w.

Resposta

O vetor AG é combinação linear de u, v e w, e suas coordenadas em relação à base B são:
( 4x + y - 3z5, 3x - 3y - z5, y + 2z - x5 )

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