Sejam
© Justifique porque o vetor é combinação linear de e encontre as coordenadas em relação a base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para justificarmos por que o vetor é uma combinação linear dos vetores , e , além de encontrarmos as coordenadas desse vetor em relação à base formada por esses três vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como representamos um vetor em uma base específica.

Passo 2

Primeiro, combinação linear significa que podemos escrever o vetor como uma soma de múltiplos escalonados dos vetores , e . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:

Passo 3

Vamos supor que , já que não foi dado explicitamente. Assim, temos:
Distribuindo os escalares:

Passo 4

Isso nos dá um sistema de equações:
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores de , e em termos de , e .

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. A partir da terceira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Finalmente, substituímos e na primeira equação:

Passo 6

Agora que encontramos , podemos voltar e encontrar e :

Passo 7

Portanto, os escalares são:
Isso mostra que conseguimos expressar como uma combinação linear de , e .

Resposta

O vetor é combinação linear de , e , e suas coordenadas em relação à base são:

Exercícios relacionados

Uma matriz quadrada é dita triangular superior se , quando . Dizemos que é triangular inferior se , quando . Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos , isto é, . (j) Toda matriz diagonal é simétrica.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que .
Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: injetiva injetiva.
Verifique que todas as afirmações são verdadeiras se .
Calcule a distância entre os planos: