Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
T: R^4 R^2 cujo núcleo seja a origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe uma transformação linear cujo núcleo seja só a origem. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformações Lineares e Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema do Núcleo e Imagem). A gente vai precisar entender como esses conceitos se aplicam para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de ker(T) = v in R^4 mid T(v) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :
Queremos que esse núcleo seja só a origem, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema da Dimensão. Esse teorema diz que para uma transformação linear dim(V) = dim(ker(T)) + dim(im(T)) , temos:
Onde:
  • é a dimensão do espaço de partida, aqui , então .
  • é a dimensão do núcleo de .
  • é a dimensão da imagem de , que é um subespaço de , então .

Passo 4

Queremos que dim(ker(T)) = 0 . Isso significa que a dimensão do núcleo é zero:
4 = 0 + dim(im(T) implies dim(im(T)) = 4
Substituindo no Teorema da Dimensão:
Mas aí temos um problema: a imagem de dim(im(T)) <= 2 está dentro de , e a dimensão dela não pode ser maior que a dimensão do espaço de chegada. Ou seja:

Passo 5

Conseguimos uma contradição: pelo Teorema da Dimensão, precisaríamos que , mas a dimensão máxima de é 2. Isso significa que não é possível existir uma transformação linear de para com núcleo apenas na origem.

Resposta

Não, não existe uma transformação linear cujo núcleo seja somente a origem.

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