Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
cujo núcleo seja a origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe uma transformação linear
cujo núcleo seja só a origem. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformações Lineares e Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema do Núcleo e Imagem). A gente vai precisar entender como esses conceitos se aplicam para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
:
Queremos que esse núcleo seja só a origem, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema da Dimensão. Esse teorema diz que para uma transformação linear
, temos:
Onde:
-
é a dimensão do espaço de partida, aqui , então . -
é a dimensão do núcleo de . -
é a dimensão da imagem de , que é um subespaço de , então .
Passo 4
Queremos que
. Isso significa que a dimensão do núcleo é zero:
Substituindo no Teorema da Dimensão:
Mas aí temos um problema: a imagem de
está dentro de
, e a dimensão dela não pode ser maior que a dimensão do espaço de chegada. Ou seja:
Passo 5
Conseguimos uma contradição: pelo Teorema da Dimensão, precisaríamos que
, mas a dimensão máxima de
é 2. Isso significa que não é possível existir uma transformação linear de
para
com núcleo apenas na origem.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear
cujo núcleo seja somente a origem.