Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
T: R^4 R^3 tal que N(T)=>=r(1,0,0,0) ;(0,1,0,0) e Im(T)=>=r(1,1,2) ;(2,2,4)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Tem uma transformação linear e queremos saber se existe essa transformação que tenha dois subespaços específicos:
  • O núcleo é gerado pelos vetores e .
  • A imagem é gerada pelos vetores e .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e o teorema da dimensão (também conhecido como teorema de Rank-Nullity).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, quando passados pela transformação , dão o vetor zero. No nosso caso, é gerado por e , o que significa que todo vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Agora, a imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de . Aqui, a imagem é gerada por e .

Passo 4

Vamos verificar a dimensão do núcleo e da imagem. A dimensão do núcleo é o número de vetores que o geram, então . A dimensão da imagem é o número de vetores que a geram, mas precisamos ver se eles são linearmente independentes.

Passo 5

Observando os vetores que geram a imagem:
(2,2,4) = 2 times (1,1,2)
Isso mostra que o segundo vetor é múltiplo do primeiro, ou seja, eles são linearmente dependentes. Portanto, a dimensão da imagem é apenas .

Passo 6

Segundo o teorema da dimensão, temos que:
dim(R^4) = dim(N(T)) + dim(Im(T))
Substituindo os valores que encontramos:
4 = 2 + 1
4 = 3
Isso não é verdade, o que indica uma contradição.

Resposta

Não existe uma transformação linear que satisfaça as condições dadas, pois a dimensão da imagem não coincide com o exigido pelo teorema da dimensão.

Exercícios relacionados