Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
e
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Tem uma transformação linear
e queremos saber se existe essa transformação que tenha dois subespaços específicos:
- O núcleo
é gerado pelos vetores e . - A imagem
é gerada pelos vetores e .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e o teorema da dimensão (também conhecido como teorema de Rank-Nullity).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo
é o conjunto de todos os vetores que, quando passados pela transformação
, dão o vetor zero. No nosso caso,
é gerado por
e
, o que significa que todo vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 3
Agora, a imagem
é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a qualquer vetor de
. Aqui, a imagem é gerada por
e
.
Passo 4
Vamos verificar a dimensão do núcleo e da imagem. A dimensão do núcleo é o número de vetores que o geram, então
. A dimensão da imagem é o número de vetores que a geram, mas precisamos ver se eles são linearmente independentes.
Passo 5
Observando os vetores que geram a imagem:
Isso mostra que o segundo vetor é múltiplo do primeiro, ou seja, eles são linearmente dependentes. Portanto, a dimensão da imagem é apenas
.
Passo 6
Segundo o teorema da dimensão, temos que:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso não é verdade, o que indica uma contradição.
Resposta
Não existe uma transformação linear
que satisfaça as condições dadas, pois a dimensão da imagem não coincide com o exigido pelo teorema da dimensão.