Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que vai de (o espaço dos polinômios de grau até 2) para . O enunciado nos dá como transforma três polinômios específicos:
Nosso objetivo é descobrir a “lei” dessa transformação , ou seja, como ela age sobre qualquer polinômio em , e depois encontrar a lei da transformação inversa .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que é o espaço dos polinômios de até grau 2, que tem uma base padrão formada por . Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como:
onde são números reais.
Como é uma transformação linear, sabemos que:
Mas aqui, o enunciado nos dá , e em vez de e . Vamos usar essas informações para descobrir e .
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações para encontrar e .
Sabemos que:
Vamos resolver a terceira equação para encontrar :
Agora que sabemos , vamos usar a segunda equação para encontrar :
Passo 4
Agora que temos , e , podemos escrever a lei da transformação . Para qualquer polinômio , temos:
Então, a lei de é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a transformação inversa . Para isso, precisamos expressar em termos das coordenadas em onde .
Temos as equações:
Vamos resolver esse sistema para :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:Então:
Agora, substituindo de volta em e :
Passo 6
Agora que temos em termos de , podemos escrever a lei de . Dado um vetor em , a transformação inversa é: