Considere tal que e . Determine as leis de e de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que vai de (o espaço dos polinômios de grau até 2) para . O enunciado nos dá como transforma três polinômios específicos:
Nosso objetivo é descobrir a “lei” dessa transformação , ou seja, como ela age sobre qualquer polinômio em , e depois encontrar a lei da transformação inversa .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é o espaço dos polinômios de até grau 2, que tem uma base padrão formada por . Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como:
onde são números reais.
Como é uma transformação linear, sabemos que:
Mas aqui, o enunciado nos dá , e em vez de e . Vamos usar essas informações para descobrir e .

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar e .
Sabemos que:
Vamos resolver a terceira equação para encontrar :
Agora que sabemos , vamos usar a segunda equação para encontrar :

Passo 4

Agora que temos , e , podemos escrever a lei da transformação . Para qualquer polinômio , temos:
Então, a lei de é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformação inversa . Para isso, precisamos expressar em termos das coordenadas em onde .
Temos as equações:
Vamos resolver esse sistema para :
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação: Então:
Agora, substituindo de volta em e :

Passo 6

Agora que temos em termos de , podemos escrever a lei de . Dado um vetor em , a transformação inversa é:

Resposta

A lei da transformação é:
E a lei da transformação inversa é:

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Considere o operador linear T sobre P2® definido por:
Mostre que o operador T não é injetor usando os conceitos de autovalor e autovetor.
Calcule , em que .
Dica: Diagonalize a matriz .
Em cada item abaixo, determine a posição relativa de e . Caso e sejam transversais, determine se são ortogonais e exiba o ponto de intersecção.
© $r:\left{ \quad ; \quad \pi: x+y=2\right. .