Considere T: P2 R^3 tal que T(1)=(1,0,1), T(x+x^2)=(1,2,-2) e T(1-x)=(0,-1,1). Determine as leis de T e de T^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que vai de (o espaço dos polinômios de grau até 2) para . O enunciado nos dá como transforma três polinômios específicos:
Nosso objetivo é descobrir a “lei” dessa transformação , ou seja, como ela age sobre qualquer polinômio em , e depois encontrar a lei da transformação inversa .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que p(x) = a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2 é o espaço dos polinômios de até grau 2, que tem uma base padrão formada por T(p(x)) = a cdot T(1) + b cdot T(x) + c cdot T(x^2) . Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como:
onde são números reais.
Como é uma transformação linear, sabemos que:
Mas aqui, o enunciado nos dá , e em vez de e . Vamos usar essas informações para descobrir e .

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar T(1) = (1, 0, 1) T(x + x^2) = T(x) + T(x^2) = (1, 2, -2) T(1 - x) = T(1) - T(x) = (0, -1, 1) e T(1 - x) = T(1) - T(x) = (0, -1, 1) (1, 0, 1) - T(x) = (0, -1, 1) T(x) = (1, 0, 1) - (0, -1, 1) = (1, 1, 0) .
Sabemos que:
T(x) + T(x^2) = (1, 2, -2) (1, 1, 0) + T(x^2) = (1, 2, -2) T(x^2) = (1, 2, -2) - (1, 1, 0) = (0, 1, -2)
Vamos resolver a terceira equação para encontrar :
Agora que sabemos , vamos usar a segunda equação para encontrar :

Passo 4

Agora que temos T(p(x)) = a cdot T(1) + b cdot T(x) + c cdot T(x^2) = a cdot (1, 0, 1) + b cdot (1, 1, 0) + c cdot (0, 1, -2) = (a + b, , 0 + b + c, , a + 0 - 2c) = (a + b, , b + c, , a - 2c) , T(a + b x + c x^2) = (a + b, ; b + c, ; a - 2c) e , podemos escrever a lei da transformação . Para qualquer polinômio , temos:
Então, a lei de é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformação inversa y1 = a + b y2 = b + c y3 = a - 2c . Para isso, precisamos expressar y3 = (y1 - b) - 2(y2 - b) y3 = y1 - b - 2y2 + 2b y3 = y1 - 2y2 + b em termos das coordenadas b = y3 - y1 + 2y2 em a = y1 - (y3 - y1 + 2y2) = 2y1 - y3 - 2y2 c = y2 - (y3 - y1 + 2y2) = y1 - y3 - y2 onde .
Temos as equações:
Vamos resolver esse sistema para :
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação: Então:
Agora, substituindo de volta em e :

Passo 6

Agora que temos T^-1(y1, y2, y3) = a + b x + c x^2 = (2y1 - y3 - 2y2) cdot 1 + (y3 - y1 + 2y2) cdot x + (y1 - y3 - y2) cdot x^2 = (2y1 - y3 - 2y2) + (y3 - y1 + 2y2)x + (y1 - y3 - y2)x^2 em termos de , podemos escrever a lei de . Dado um vetor em , a transformação inversa é:

Resposta

A lei da transformação T(a + b x + c x^2) = (a + b, ; b + c, ; a - 2c) é:
T^-1(y1, y2, y3) = (2y1 - y3 - 2y2) + (y3 - y1 + 2y2)x + (y1 - y3 - y2)x^2
E a lei da transformação inversa é:

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