Em cada item abaixo, determine a posição relativa de r e pi. Caso r e pi sejam transversais, determine se são ortogonais e exiba o ponto de intersecção.
© $r:\left{ l x-y=1 x-2 y=0 \quad ; \quad \pi: x+y=2\right. .

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para a gente descobrir a posição relativa entre a reta e a reta . A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, mais especificamente o estudo das retas no plano. Para resolver, vamos precisar encontrar as equações das retas envolvidas e analisar como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está definida a reta x - y = 1 x - 2y = 0 . Ela está descrita pelo sistema de equações:
Isso significa que é o ponto onde essas duas equações se encontram. Vamos resolver esse sistema para encontrar as coordenadas desse ponto.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
x - y = 1 (1) x - 2y = 0 (2)
Podemos subtrair a equação (2) da equação (1):
(x - y) - (x - 2y) = 1 - 0 x - y - x + 2y = 1 y = 1
Agora que temos x - 2(1) = 0 x = 2 , substituímos na equação (2):
Então, o ponto de intersecção é . Portanto, é o ponto .

Passo 4

Agora, vamos analisar a reta x + y = 2 que está definida pela equação:
2 + 1 = 3 neq 2
Queremos saber se o ponto está sobre a reta . Para isso, vamos substituir as coordenadas de na equação de :
Como não é igual a , o ponto não está sobre a reta .

Passo 5

Com isso, concluímos que e não se intersectam. Portanto, elas são retas disjuntas, ou seja, não possuem pontos em comum.

Resposta

A reta e a reta são disjuntas, ou seja, não se intersectam nem são ortogonais.

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