Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear cuja imagem é um plano que passa pela origem, que tipo de objeto geométrico é o núcleo de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear cuja imagem é um plano que passa pela origem. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de objeto geométrico é o núcleo de . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de transformação linear, imagem (também chamada de imagem de T) e núcleo (ou kernel de T). Além disso, vamos usar o Teorema do Posto para relacionar a dimensão da imagem com a dimensão do núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores e em e qualquer escalar , temos:

Passo 3

A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . No caso, a imagem de é um plano que passa pela origem em . Isso nos diz que a dimensão da imagem, ou posto de , é 2, já que um plano é um espaço bidimensional.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o núcleo de , denotado por . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :

Passo 5

Para relacionar a dimensão da imagem com a dimensão do núcleo, usamos o Teorema do Posto (ou Teorema da Dimensão), que nos diz:
Sabemos que e . Substituindo na equação:

Passo 6

Uma vez que a dimensão do núcleo é 1, isso significa que o núcleo de é um subespaço unidimensional de . Geometricamente, um subespaço unidimensional em é uma linha que passa pela origem.

Resposta

O núcleo de é uma reta que passa pela origem.

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tal que e
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Seja é uma transformação linear invertível tal que [ ] é uma matriz de ordem , determine e .