Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se
é uma transformação linear cuja imagem é um plano que passa pela origem, que tipo de objeto geométrico é o núcleo de
?
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear
cuja imagem é um plano que passa pela origem. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de objeto geométrico é o núcleo de
. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de transformação linear, imagem (também chamada de imagem de T) e núcleo (ou kernel de T). Além disso, vamos usar o Teorema do Posto para relacionar a dimensão da imagem com a dimensão do núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
entre dois espaços vetoriais preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores
e
em
e qualquer escalar
, temos:
Passo 3
A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. No caso, a imagem de
é um plano que passa pela origem em
. Isso nos diz que a dimensão da imagem, ou posto de
, é 2, já que um plano é um espaço bidimensional.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o núcleo de
, denotado por
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
:
Passo 5
Para relacionar a dimensão da imagem com a dimensão do núcleo, usamos o Teorema do Posto (ou Teorema da Dimensão), que nos diz:
Sabemos que
e
. Substituindo na equação:
Passo 6
Uma vez que a dimensão do núcleo é 1, isso significa que o núcleo de
é um subespaço unidimensional de
. Geometricamente, um subespaço unidimensional em
é uma linha que passa pela origem.
Resposta
O núcleo de
é uma reta que passa pela origem.
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Calcule as seguintes derivadas
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
e
Calcule as seguintes derivadas
Seja
é uma transformação linear invertível tal que [
] é uma matriz de ordem
, determine
e
.