Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
que seja bijetora.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se existe uma transformação linear
que seja bijetora. Aqui,
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 9, e
é o espaço das matrizes 3x3. Vamos precisar entender conceitos de dimensões de espaços vetoriais e transformações lineares bijetoras para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar determinando a dimensão de cada espaço envolvido. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço.
-
Dimensão de
: Um polinômio de grau no máximo 9 tem 10 coeficientes (do grau 0 ao 9). Portanto, . -
Dimensão de
: Uma matriz 3x3 tem 9 entradas independentes. Assim, .
Passo 3
Agora, vamos lembrar um conceito importante: para que exista uma transformação linear bijetora entre dois espaços vetoriais, eles precisam ter a mesma dimensão. Isso ocorre porque uma bijeção exige que cada elemento do primeiro espaço corresponda a exatamente um elemento do segundo espaço, sem sobra ou falta.
Passo 4
Comparando as dimensões que encontramos:
Como 10 não é igual a 9, os espaços têm dimensões diferentes.
Passo 5
Como as dimensões de
e
são diferentes, não pode existir uma transformação linear que seja bijetora entre eles. Isso porque não há uma correspondência um a um entre os elementos dos espaços.
Resposta
Não existe uma transformação linear
que seja bijetora.