Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
T: P9 M(3,3) que seja bijetora.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se existe uma transformação linear que seja bijetora. Aqui, é o espaço dos polinômios de grau no máximo 9, e é o espaço das matrizes 3x3. Vamos precisar entender conceitos de dimensões de espaços vetoriais e transformações lineares bijetoras para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar determinando a dimensão de cada espaço envolvido. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço.
  • Dimensão de : Um polinômio de grau no máximo 9 tem 10 coeficientes (do grau 0 ao 9). Portanto, .
  • Dimensão de : Uma matriz 3x3 tem 9 entradas independentes. Assim, .

Passo 3

Agora, vamos lembrar um conceito importante: para que exista uma transformação linear bijetora entre dois espaços vetoriais, eles precisam ter a mesma dimensão. Isso ocorre porque uma bijeção exige que cada elemento do primeiro espaço corresponda a exatamente um elemento do segundo espaço, sem sobra ou falta.

Passo 4

Comparando as dimensões que encontramos:
Como 10 não é igual a 9, os espaços têm dimensões diferentes.

Passo 5

Como as dimensões de e são diferentes, não pode existir uma transformação linear que seja bijetora entre eles. Isso porque não há uma correspondência um a um entre os elementos dos espaços.

Resposta

Não existe uma transformação linear que seja bijetora.

Exercícios relacionados

O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mola é
s(t)=2 e^-t2 sen(t)
onde s é medida em centímetros e t em segundos.
b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes.
Determine a equação da elipse de focos nos pontos de interseção da circunferência x^2-2 x+y^2-4 y-4=0 com a reta x=1 e excentricidade e=12.
Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando A=A^t e antissimétrica quando A=-A^t. (b) Seja A=(ccc3 & x^2 & 3 2 x-1 & -2 & 5 3 & 5 & 1). Qual o valor de x para que A seja simétrica?
Determine as derivadas de arccot: R (0, pi) (arco cotangente), arcsec : [1, infty) [0, pi / 2) (arco secante) e arccosec [1, infty) (0, pi / 2] (arco cossecante).