Determine as derivadas de arccot: R (0, pi) (arco cotangente), arcsec : [1, infty) [0, pi / 2) (arco secante) e arccosec [1, infty) (0, pi / 2] (arco cossecante).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas das funções arco cotangente (arccot), arco secante (arcsec) e arco cossecante (arccosec). Essas funções fazem parte do estudo das funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções inversas e lembrar das fórmulas de derivadas básicas dessas funções.

Passo 2

Vamos começar com a derivada da arco cotangente, . A primeira coisa a lembrar é que a derivada de uma função inversa, como a arccot, pode ser encontrada usando a regra:
Isso porque a função cotangente é derivável e sabemos que a derivada da cotangente é ddx[arccot(x)] = -11 + x^2 . Mas, ao trabalharmos com a inversa, acabamos com a fórmula acima.

Passo 3

Agora, vamos para a derivada da arco secante, . Aqui, a função arco secante é a inversa da função secante. A derivada de é um pouco mais complexa, mas podemos lembrar que:
No domínio dado, ddx[arcsec(x)] = 1|x| raizx^2 - 1 , então o valor absoluto de ddx[arcsec(x)] = 1x raizx^2 - 1 é simplesmente . Portanto, a derivada fica:

Passo 4

Por fim, vamos derivar a arco cossecante, . Essa função é a inversa da função cossecante. A derivada de é dada por:
Novamente, considerando que ddx[arccosec(x)] = -1|x| raizx^2 - 1 , o valor absoluto de ddx[arccosec(x)] = -1x raizx^2 - 1 é , então a derivada simplifica para:

Resposta

As derivadas são:

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