Determine as derivadas de arccot:
(arco cotangente), arcsec :
(arco secante)
arccosec
(arco cossecante).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas das funções arco cotangente (arccot), arco secante (arcsec) e arco cossecante (arccosec). Essas funções fazem parte do estudo das funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções inversas e lembrar das fórmulas de derivadas básicas dessas funções.
Passo 2
Vamos começar com a derivada da arco cotangente, . A primeira coisa a lembrar é que a derivada de uma função inversa, como a arccot, pode ser encontrada usando a regra:
Isso porque a função cotangente é derivável e sabemos que a derivada da cotangente é
. Mas, ao trabalharmos com a inversa, acabamos com a fórmula acima.
Passo 3
Agora, vamos para a derivada da arco secante, . Aqui, a função arco secante é a inversa da função secante. A derivada de é um pouco mais complexa, mas podemos lembrar que:
No domínio dado,
, então o valor absoluto de
é simplesmente
. Portanto, a derivada fica:
Passo 4
Por fim, vamos derivar a arco cossecante, . Essa função é a inversa da função cossecante. A derivada de é dada por:
Novamente, considerando que
, o valor absoluto de
é
, então a derivada simplifica para:
Resposta
As derivadas são: