Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa analisar se existe uma transformação linear
que satisfaça a condição
. Aqui,
é o espaço das matrizes
e
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 10. Vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz:
No nosso caso, o domínio é
. Como cada entrada da matriz pode ser qualquer número, a dimensão de
é
.
Passo 3
O contradomínio é
, que são os polinômios de grau no máximo 10. A dimensão desse espaço é 11, porque há 11 coeficientes possíveis (do grau 0 ao 10).
Passo 4
Queremos que
(dimensão do núcleo de
) esteja entre 1 e 7. Vamos aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Desse jeito, a dimensão da imagem será:
Passo 5
Vamos verificar se é possível ter
:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 6
Agora, precisamos garantir que a dimensão da imagem não exceda a dimensão do contradomínio
, que é 11. Para
, temos
, o que está dentro do limite. Para
,
, também válido.
Passo 7
Como todas as dimensões da imagem possíveis (de 5 a 11) estão dentro do limite do contradomínio, concluímos que é possível existir uma transformação linear
que satisfaça
.
Resposta
Sim, existe uma transformação linear
que satisfaz
.
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.
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