Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
T: M(4,3) P10 tal que 1 <= dim N(T) <= 7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa analisar se existe uma transformação linear que satisfaça a condição . Aqui, é o espaço das matrizes e é o espaço dos polinômios de grau no máximo 10. Vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz:
dim(Domínio) = dim(Ima>=m) + dim(Núc<=o) íú
No nosso caso, o domínio é . Como cada entrada da matriz pode ser qualquer número, a dimensão de é .

Passo 3

O contradomínio é , que são os polinômios de grau no máximo 10. A dimensão desse espaço é 11, porque há 11 coeficientes possíveis (do grau 0 ao 10).

Passo 4

Queremos que 12 = dim(Ima>=m) + dim N(T) (dimensão do núcleo de dim(Ima>=m) = 12 - dim N(T) ) esteja entre 1 e 7. Vamos aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Desse jeito, a dimensão da imagem será:

Passo 5

Vamos verificar se é possível ter :
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 6

Agora, precisamos garantir que a dimensão da imagem não exceda a dimensão do contradomínio , que é 11. Para , temos , o que está dentro do limite. Para , , também válido.

Passo 7

Como todas as dimensões da imagem possíveis (de 5 a 11) estão dentro do limite do contradomínio, concluímos que é possível existir uma transformação linear que satisfaça .

Resposta

Sim, existe uma transformação linear que satisfaz .

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