Determine a equação da superficie de revoluçăo obtida pela rotaçăo da curva
em tomo do eixo
. Esboce a superficie.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela equação
, e queremos encontrar a equação da superfície que resulta ao girar essa curva em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a rotação de curvas no espaço tridimensional e como isso afeta as coordenadas na equação.
Passo 2
Vamos começar identificando a curva
. Essa é a equação de uma hipérbole no plano
. Agora, ao girar essa hipérbole em torno do eixo
, queremos ver como as coordenadas
e
mudam.
Passo 3
Quando giramos uma curva em torno do eixo
, a distância de qualquer ponto da curva ao eixo
é dada por
. Essa distância
substitui o valor original de
na equação da curva, já que
era a coordenada perpendicular ao eixo de rotação.
Passo 4
Vamos substituir
por
na equação original. Assim, a equação
fica:
Passo 5
Simplificando a equação, temos:
Essa é a equação da superfície resultante da rotação da hipérbole em torno do eixo
.
Passo 6
Para esboçar a superfície, reconhecemos que a equação
representa um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície tem uma forma de túnel aberto que se estende infinitamente ao longo do eixo
.
Resposta
A equação da superfície de revolução é
, que corresponde a um hiperboloide de uma folha.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.
Encontre a equação da parabola com eixo de simetria paraieio ao eixo Ox , vértice no ponto
e passa pelo ponto
.
Determine uma função g tal que a reta tangente ao gráfico de
em todo
seja paralela á reta normal ao gráfico de
em
.
Considere as matrizes
Calcular
.