Determine a equação da superficie de revoluçăo obtida pela rotaçăo da curva z^2-y^2=-1 em tomo do eixo O z. Esboce a superficie.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela equação , e queremos encontrar a equação da superfície que resulta ao girar essa curva em torno do eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a rotação de curvas no espaço tridimensional e como isso afeta as coordenadas na equação.

Passo 2

Vamos começar identificando a curva . Essa é a equação de uma hipérbole no plano . Agora, ao girar essa hipérbole em torno do eixo , queremos ver como as coordenadas e mudam.

Passo 3

Quando giramos uma curva em torno do eixo , a distância de qualquer ponto da curva ao eixo é dada por . Essa distância substitui o valor original de na equação da curva, já que era a coordenada perpendicular ao eixo de rotação.

Passo 4

Vamos substituir z^2 - (x^2 + y^2) = -1 por na equação original. Assim, a equação fica:

Passo 5

Simplificando a equação, temos:
x^2 + y^2 - z^2 = 1
Essa é a equação da superfície resultante da rotação da hipérbole em torno do eixo .

Passo 6

Para esboçar a superfície, reconhecemos que a equação representa um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície tem uma forma de túnel aberto que se estende infinitamente ao longo do eixo .

Resposta

A equação da superfície de revolução é , que corresponde a um hiperboloide de uma folha.

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