Determine uma função g tal que a reta tangente ao gráfico de -x^2 / 2 em todo x>0 seja paralela á reta normal ao gráfico de g em x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções envolvidas:
  • A função .
  • A função que precisamos determinar.
O objetivo é encontrar uma função tal que, para todo , a reta tangente ao gráfico de seja paralela à reta normal ao gráfico de no mesmo ponto .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f'(x) = ddx(-x^22) = -x em um ponto qualquer .
A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função em relação a :
Portanto, a inclinação da reta tangente a em qualquer ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta normal ao gráfico de Inclinação da reta normal = -1g'(x) no mesmo ponto .
A reta normal é perpendicular à reta tangente, e a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.
Seja a derivada de , que representa a inclinação da reta tangente a em . Então, a inclinação da reta normal é:
çã

Passo 4

De acordo com o enunciado, a inclinação da reta tangente a f'(x) = Inclinação da reta normal a g(x) deve ser igual à inclinação da reta normal a -x = -1g'(x) para todo . Portanto:
çã
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos resolver a equação para -x = -1g'(x) implies x = 1g'(x) implies g'(x) = 1x :

Passo 6

Agora, para encontrar g(x) = integral g'(x) , dx = integral 1x , dx = ln|x| + C , precisamos integrar :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função g(x) = ln(x) + C que satisfaz as condições do exercício é:
Onde é uma constante real.

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Boa Sorte!