Determine uma função g tal que a reta tangente ao gráfico de
em todo
seja paralela á reta normal ao gráfico de
em
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções envolvidas:
- A função
. - A função
que precisamos determinar.
O objetivo é encontrar uma função
tal que, para todo
, a reta tangente ao gráfico de
seja paralela à reta normal ao gráfico de
no mesmo ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em um ponto qualquer
.
A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função em relação a
:
Portanto, a inclinação da reta tangente a
em qualquer ponto
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta normal ao gráfico de
no mesmo ponto
.
A reta normal é perpendicular à reta tangente, e a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.
Seja
a derivada de
, que representa a inclinação da reta tangente a
em
. Então, a inclinação da reta normal é:
Passo 4
De acordo com o enunciado, a inclinação da reta tangente a
deve ser igual à inclinação da reta normal a
para todo
. Portanto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver a equação para
:
Passo 6
Agora, para encontrar
, precisamos integrar
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A função
que satisfaz as condições do exercício é:
Onde
é uma constante real.
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Determine a equação da superficie de revoluçăo obtida pela rotaçăo da curva
em tomo do eixo
. Esboce a superficie.
Em cada caso, determine se existe ou não uma transformação linear que satisfaça as condições dadas:
tal que
.
Considere as matrizes
Calcular
.
Na superficie abaixo, determine as interseços com os planos coordenados, identifique-a e esboce seu gráfico.
a)
Boa Sorte!
a)
Boa Sorte!