Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(b) sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso significa que queremos descobrir para quais valores de a série soma dá um número finito. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que é uma técnica padrão para determinar se uma série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste da razão. A série é:
sumn=0^infty x^2n+1(-4)^n
Podemos simplificar sumn=0^infty x cdot x^2n(-4)^n = x sumn=0^infty ( x^2-4 )^n como , então a série fica:
Agora, temos uma série geométrica da forma , onde .

Passo 3

Para uma série geométrica | x^2-4 | < 1 convergir, o valor absoluto de x^24 < 1 deve ser menor que 1, ou seja, .
Aplicando isso à nossa série:
Simplificando o valor absoluto:

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade para x^24 < 1 implies x^2 < 4 :
|x| < 2
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso significa que deve estar no intervalo entre e .

Passo 5

Para ter certeza, vamos verificar os pontos finais sumn=0^infty 2^2n+1(-4)^n = 2 sumn=0^infty ( 4-4 )^n = 2 sumn=0^infty (-1)^n e sumn=0^infty (-2)^2n+1(-4)^n = -2 sumn=0^infty ( 4-4 )^n = -2 sumn=0^infty (-1)^n :
  1. Para :
Essa série não converge porque a soma alterna entre 2 e -2 indefinidamente.
  1. Para :
Também não converge pelo mesmo motivo.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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