Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso significa que queremos descobrir para quais valores de a série soma dá um número finito. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que é uma técnica padrão para determinar se uma série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste da razão. A série é:
Podemos simplificar como , então a série fica:
Agora, temos uma série geométrica da forma , onde .

Passo 3

Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de deve ser menor que 1, ou seja, .
Aplicando isso à nossa série:
Simplificando o valor absoluto:

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade para :
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso significa que deve estar no intervalo entre e .

Passo 5

Para ter certeza, vamos verificar os pontos finais e :
  1. Para :
Essa série não converge porque a soma alterna entre 2 e -2 indefinidamente.
  1. Para :
Também não converge pelo mesmo motivo.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(g)
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(e)
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(i)