Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(i) sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência de uma série de potências. A série que vamos analisar é:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar os valores de para os quais a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
an+1an = (-1)^(n+1)+1 x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)! cdot (2n-1)!(-1)^n+1 x^2n-1
Se an+1an = -x^2n+1(2n+1)! cdot (2n-1)!x^2n-1 = -x^2(2n+1)(2n) , a série converge absolutamente. Se L = limn to infty | -x^2(2n+1)(2n) | = limn to infty x^24n^2 + 2n , a série diverge. E se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :
Simplificando os sinais e potências de :
Agora, vamos tirar o módulo e calcular o limite:

Passo 3

Agora, olhamos para o limite L = limn to infty x^24n^2 + 2n = 0 :
Porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, o que faz com que o limite seja zero para qualquer valor de .
Como , isso significa que a série converge absolutamente para todo .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados