Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência de uma série de potências. A série que vamos analisar é:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar os valores de
para os quais a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série
, calculamos o limite:
Se
, a série converge absolutamente. Se
, a série diverge. E se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
. Vamos calcular
:
Simplificando os sinais e potências de
:
Agora, vamos tirar o módulo e calcular o limite:
Passo 3
Agora, olhamos para o limite
:
Porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, o que faz com que o limite seja zero para qualquer valor de
.
Como
, isso significa que a série converge absolutamente para todo
.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(e)
(e)
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(b)
(b)
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(1)
(1)
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(o)
(o)