Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência de uma série de potências. A série que vamos analisar é:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar os valores de para os quais a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. E se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :
Simplificando os sinais e potências de :
Agora, vamos tirar o módulo e calcular o limite:

Passo 3

Agora, olhamos para o limite :
Porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, o que faz com que o limite seja zero para qualquer valor de .
Como , isso significa que a série converge absolutamente para todo .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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