Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos a função
como uma série de potências de
. Além disso, precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor e algumas propriedades de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série geométrica básica é dada por:
Essa fórmula é válida quando o valor absoluto de
é menor que 1. Vamos usar essa série como ponto de partida para encontrar a série de
.
Passo 3
Sabemos que a derivada de
em relação a
é:
Ou seja,
Passo 4
Para encontrar a série de
, precisamos integrar a série acima em relação a
. Vamos integrar cada termo da série:
Integrando, temos:
Passo 5
Para determinar a constante de integração
, avaliamos a série em
:
Então, a série fica:
Podemos reescrever isso iniciando a soma em
:
Passo 6
Agora, para identificar o raio e o intervalo de convergência, observamos que a série original
converge para
. Como a série de
foi derivada e integrada a partir dessa, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja,
.
Para o intervalo de convergência, consideramos
, então o intervalo é:
Resposta
A função
pode ser representada pela série de potências:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.