Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos a função como uma série de potências de . Além disso, precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor e algumas propriedades de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série geométrica básica é dada por:
Essa fórmula é válida quando o valor absoluto de é menor que 1. Vamos usar essa série como ponto de partida para encontrar a série de .
Passo 3
Sabemos que a derivada de em relação a é:
Ou seja,
Passo 4
Para encontrar a série de , precisamos integrar a série acima em relação a . Vamos integrar cada termo da série:
Integrando, temos:
Passo 5
Para determinar a constante de integração , avaliamos a série em :
Então, a série fica:
Podemos reescrever isso iniciando a soma em :
Passo 6
Agora, para identificar o raio e o intervalo de convergência, observamos que a série original converge para . Como a série de foi derivada e integrada a partir dessa, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja, .
Para o intervalo de convergência, consideramos , então o intervalo é:
Resposta
A função pode ser representada pela série de potências:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .