Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(g) ln (1-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos a função ln(1 - x) como uma série de potências de x. Além disso, precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor e algumas propriedades de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série geométrica básica é dada por:
11 - x = sumn=0^infty x^n para |x| < 1
Essa fórmula é válida quando o valor absoluto de x é menor que 1. Vamos usar essa série como ponto de partida para encontrar a série de ln(1 - x).

Passo 3

Sabemos que a derivada de ln(1 - x) em relação a x é:
ddx ln(1 - x) = -11 - x
Ou seja,
ddx ln(1 - x) = -sumn=0^infty x^n

Passo 4

Para encontrar a série de ln(1 - x), precisamos integrar a série acima em relação a x. Vamos integrar cada termo da série:
ln(1 - x) = -integral sumn=0^infty x^n , dx = -sumn=0^infty integral x^n , dx
Integrando, temos:
ln(1 - x) = -sumn=0^infty x^n+1n+1 + C

Passo 5

Para determinar a constante de integração C, avaliamos a série em x = 0:
ln(1 - 0) = -sumn=0^infty 0^n+1n+1 + C 0 = 0 + C C = 0
Então, a série fica:
ln(1 - x) = -sumn=0^infty x^n+1n+1
Podemos reescrever isso iniciando a soma em n=1:
ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn

Passo 6

Agora, para identificar o raio e o intervalo de convergência, observamos que a série original 11 - x converge para |x| < 1. Como a série de ln(1 - x) foi derivada e integrada a partir dessa, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja, R = 1.
Para o intervalo de convergência, consideramos |x| < 1, então o intervalo é:
-1 < x < 1

Resposta

A função ln(1 - x) pode ser representada pela série de potências:
ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 < x < 1.

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