Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos a função como uma série de potências de . Além disso, precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor e algumas propriedades de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série geométrica básica é dada por:
Essa fórmula é válida quando o valor absoluto de é menor que 1. Vamos usar essa série como ponto de partida para encontrar a série de .

Passo 3

Sabemos que a derivada de em relação a é:
Ou seja,

Passo 4

Para encontrar a série de , precisamos integrar a série acima em relação a . Vamos integrar cada termo da série:
Integrando, temos:

Passo 5

Para determinar a constante de integração , avaliamos a série em :
Então, a série fica:
Podemos reescrever isso iniciando a soma em :

Passo 6

Agora, para identificar o raio e o intervalo de convergência, observamos que a série original converge para . Como a série de foi derivada e integrada a partir dessa, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja, .
Para o intervalo de convergência, consideramos , então o intervalo é:

Resposta

A função pode ser representada pela série de potências:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
(b) Calcule o valor de , usando , para , utilizando a aproximação .
Considere a série Harmônica dada por . Mostra-se que e portanto é divergente. No entanto, se calcularmos , usando o algoritmo: e , obtemos um resultado finito. Explique o que ocorre.
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(b)